\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=12\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=12\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC}=12\)

\(\Rightarrow BC^2=12\Rightarrow BC=2\sqrt{3}\)

Gọi M là trung điểm của BC

Vì ΔABC đều

mà M là trug điểm của bC

nên MA vuông góc với BC 

BM=CM=a/2

\(AM=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{1}{2}a\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}\right|=2\cdot AM=2\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\)

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right|=CB=a\)

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{3}\)

vecto AB-vecto BC

=vecto AB+vecto CB

=>|vecto AB+vecto CB|=|vecto BA+vecto BC|=|2vecto BN|(Với N là trung điểm của AC)

=2xBN=a căn 3

a: Gọi H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có AH là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}\)

ΔABC đều có AH là đường trung tuyến

nên \(AH=AB\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3a\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(2\cdot AH=3a\sqrt{3}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AH=3a\sqrt{3}\)

b:

Gọi I là trung điểm của AH

I là trung điểm của AH

=>\(IA=IH=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\)

ΔABC đều

mà AH là đường trung tuyến

nên AH vuông góc BC

ΔIHC vuông tại H

=>\(CI^2=HI^2+HC^2\)

=>\(CI^2=\left(\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(1,5a\right)^2=9a^2\)

=>CI=3a

 \(\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|\)

\(=\left|2\cdot\overrightarrow{CI}\right|=2CI\)

\(=2\cdot3a=6a\)

a: A(2;1); B(-2;5); C(-5;2)

Tọa độ vecto AB là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2-2=-4\\y=5-1=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\overrightarrow{AB}=\left(-4;4\right)\)

Tọa độ vecto AC là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-5-2=-7\\y=2-1=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\overrightarrow{AC}=\left(-7;1\right)\)

Tọa độ vecto BC là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-5-\left(-2\right)=-5+2=-3\\y=2-5=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\overrightarrow{BC}=\left(-3;-3\right)\)

b: \(\overrightarrow{AB}=\left(-4;4\right);\overrightarrow{AC}=\left(-7;1\right);\overrightarrow{BC}=\left(-3;-3\right)\)

\(AB=\sqrt{\left(-4\right)^2+4^2}=4\sqrt{2}\)

\(AC=\sqrt{\left(-7\right)^2+1^2}=5\sqrt{2}\)

\(BC=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-3\right)^2}=3\sqrt{2}\)

Chu vi ΔABC là:

\(5\sqrt{2}+4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\)

Vì \(AC^2=BA^2+BC^2\)

nên ΔABC vuông tại B

c: tọa độ I là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+\left(-2\right)}{2}=0\\y=\dfrac{1+5}{2}=\dfrac{6}{2}=3\end{matrix}\right.\)

Vậy: I(0;3)

d: Tọa độ trọng tâm G của ΔABC là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+\left(-2\right)+\left(-5\right)}{3}=-\dfrac{5}{3}\\y=\dfrac{1+5+2}{3}=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

e: ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

mà \(\overrightarrow{AB}=\left(-4;4\right);\overrightarrow{DC}=\left(-5-x;2-y\right)\)

nên \(\left\{{}\begin{matrix}-5-x=-4\\2-y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+5=4\\y=2-4=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy: D(-1;-2)