Lời giải:
a. Xét tam giác $ABM$ và $ECM$ có:

$BM=CM$ (do $M$ là trung điểm $BC$)

$AM=EM$ (gt)

$\widehat{AMB}+\widehat{EMC}$ (đối đỉnh) 

$\Rightarrow \triangle ABM=\triangle ECM$ (c.g.c)

b. 

Từ tam giác bằng nhau phần a suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{ECM}$

Mà hai góc này so le trong nên $AB\parallel CE$ 

c.

$AB\perp AC; AB\parallel CE$

$\Rightarrow AC\perp CE$ (đpcm)

a: Xét ΔABM và ΔECM có

MA=ME

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)

MB=MC

Do đó: ΔAMB=ΔEMC

b: Xét tứ giác ABEC có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của AE

Do đó: ABEC là hình bình hành

mà \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABEC là hình chữ nhật

Suy ra: AB//EC

c: Ta có: ABEC là hình chữ nhật

nên EC\(\perp\)AC

Hình vẽ:

a) △ABM và △ECM có:

\(MB=MC\\ \widehat{AMB}=\widehat{CME}\\ AM=ME\)

\(\Rightarrow\text{△ABM = △ECM (c.g.c)}\)

b) \(\text{△ABM = △ECM}\\ \Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ECM}\)

Mà 2 góc ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow\) AB // CE (dấu hiệu nhận biết)

c) \(\text{△ACM và △EBM có:}\\ AM=EM\\ \widehat{AMC}=\widehat{BME}\\ CM=BM\\ \Rightarrow\text{△ACM = △EBM (c.g.c)}\\ \Rightarrow\widehat{CAM}=\widehat{BEM}\\ \text{△AIM và △EKM có:}\\ AI=EK\\ \widehat{IAM}=\widehat{KEM}\\ AM=EM\\ \Rightarrow\text{△AIM = △EKM (c.g.c)}\\ \Rightarrow MI=MK\)

a) Xét ΔABM và ΔECM có 

MA=ME(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔABM=ΔECM(c-g-c)

a: Xét ΔABM và ΔECM có

MA=ME

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)

MB=MC

Do đó: ΔABM=ΔECM

b: Xét tứ giác ABEC có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của AE

Do đó:ABEC là hình bình hành

Suy ra: AB//CE

c: Xét tứ giác AIEK có 

AI//EK

AI=EK

Do đó: AIEK là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo AE và IK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của AE

nên M là trung điểm của IK

hay MI=MK

Bài 1:

a: Xét ΔMAC và ΔMEB có

MA=ME

\(\widehat{AMC}=\widehat{EMB}\)(hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMEB

=>AC=EB

Ta có: ΔMAC=ΔMEB

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MEB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AC//BE

b: Xét ΔIAM và ΔKEM có

IA=KE

\(\widehat{IAM}=\widehat{KEM}\)

AM=EM

Do đó: ΔIAM=ΔKEM

=>\(\widehat{IMA}=\widehat{KME}\)

=>\(\widehat{IMA}+\widehat{AMK}=180^0\)

=>I,M,K thẳng hàng

Bài 2:

2xy-x-y=12

=>x(2y-1)-y+1/2=12,5

=>\(2x\left(y-\dfrac{1}{2}\right)-\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=12,5\)

=>\(2x\left(2y-1\right)-\left(2y-1\right)=25\)

=>\(\left(2x-1\right)\left(2y-1\right)=25\)

=>\(\left(2x-1;2y-1\right)\in\left\{\left(1;25\right);\left(25;1\right);\left(-1;-25\right);\left(-25;-1\right);\left(5;5\right);\left(-5;-5\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(2;13\right);\left(13;2\right);\left(0;-12\right);\left(-12;0\right);\left(3;3\right);\left(-2;-2\right)\right\}\)

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddcccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

Xét ABM và EMC có :

AM = ME

BM = CM

Góc AMB = góc CME ( đối đỉnh )

=> tam giac ABM = Tam giác EMC 

Ta có : Tam giác AMB = tam giác EMC nên góc BAM = góc EMC

Mặt khác : 2 góc BAM và AEC nắm vị trí so le trong 

=> AB // CE

c Xét tam giác AIB và tam gics CIK có :

 AI = IC 

BI = Ik

Góc AIB = góc CIK ( đối đỉnh )

=> tam giác AIB  = tam giác CIK

Xét tứ giác KEIA có 

KE//AI

KE=AI

Do đó: KEIA là hình bình hành

=>KI và EA cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà MI=MK

b: Xét tứ giác ABEC có 

M là trung điểm của AE

M là trung điểm của BC

Do đó: ABEC là hình bình hành

Suy ra: AB//EC

a: Xét ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC

Do đó: ΔAMB=ΔAMC

b: Xét ΔMAC và ΔMDB có

MA=MD

\(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\)(hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMDB

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MDB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AC//BD

c: Xét ΔIAM và ΔKDM có

IA=KD

\(\widehat{IAM}=\widehat{KDM}\)

AM=DM

Do đó: ΔIAM=ΔKDM

=>\(\widehat{IMA}=\widehat{KMD}\)

mà \(\widehat{IMA}+\widehat{IMD}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{KMD}+\widehat{IMD}=180^0\)

=>K,M,I thẳng hàng