Toạ độ giao điểm của các đường thẳng mx-2y=3 và 3x+my =4 là nghiệm của hpt \(\hept{\begin{cases}mx-2y=3\\3x+my=4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3mx-6y=9\\3mx+m^2y=4m\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2+6\right)y=4m-9\\3x+my=4\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x+\frac{4m^2-9m}{m^2+6}=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x=4-\frac{4m^2-9m}{m^2+6}\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x=\frac{9m+24}{m^2+6}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3m+8}{m^2+6}\\y=\frac{4m-9}{m^2+6}\end{cases}}\)

Để giao điểm nằm trong góc phần tư IV 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\y< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3m+8}{m^2+6}>0\\\frac{4m-9}{m^2+6}< 0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}3m+8>0\\4m-9< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>\frac{-8}{3}\\m< \frac{9}{4}\end{cases}}}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-8}{3}< m< \frac{9}{4}\)

Để \(m\inℤ\Rightarrow m\in\left\{0,\pm1,\pm2\right\}\)

5

Giao điểm của hai đưởng thẳng nằm trong góc vuông phần tư IV khi và chỉ khi hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}mx-2y3\\3x\text{+}my4\end{cases}}\)

có nghiệm x>0, y<0

Sử dụng phép thế, tìm được nghiệm của hệ phuong trình là x=\(\frac{3m\text{+}8}{m^2\text{+}6}\), y=\(\frac{4m-9}{m^2\text{+}6}\)

Do m²+6>0\(\forall m\)nên:

x>0\(\Leftrightarrow\)m>\(\frac{-8}{3}\)

y<0\(\Leftrightarrow\)m<\(\frac{9}{4}\)

Vậy \(\frac{-8}{3}\)<m<\(\frac{9}{4}\)

Do đó m\(\in\){0:\(\pm1;\pm2\)}

a/ ĐKXĐ: \(-3\le x\le10\)

Bình phương 2 vế:

\(10-x+x+3+2\sqrt{-x^2+7x+30}=25\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2+7x+30}=6\)

\(\Leftrightarrow-x^2+7x+30=36\)

\(\Leftrightarrow x^2-7x+6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=6\end{matrix}\right.\)

b/ Phương trình tọa độ giao điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-2y=3\\3x+my=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2x-2my=3m\\6x+2my=8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(m^2+6\right)x=3m+8\Rightarrow x=\frac{3m+8}{m^2+6}\) \(\Rightarrow y=\frac{4m-9}{m^2+6}\)

Để giao điểm nằm ở góc phần tư thứ tư thì: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{3m+8}{m^2+6}>0\\\frac{4m-9}{m^2+6}< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{8}{3}< m< \frac{9}{4}\)