Gợi ý cách giải: Thế a = 1 - b - c vào P sau đó phân tích số chính phương là ra

\(2\sqrt{2}\)

Ta có: \(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)=\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)

anh/chị giúp em với ạ!

\(BDT\Leftrightarrow2a^4b+2b^4c+2c^4a+3ab^4+3bc^4+3ca^4\ge5a^2b^2c+5a^2bc^2+5ab^2c^2\)

Ta chứng minh được \(ab^4+bc^4+ca^4\ge a^2b^2c+a^2bc^2+ab^2c^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

\(VT=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ac}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=VP\)

Vậy ta cần chứng minh \(2a^4b+2b^4c+2c^4a+2ab^4+2bc^4+2ca^4\ge4a^2b^2c+4a^2bc^2+4ab^2c^2\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(2c^3+bc^2-b^2c+ac^2-a^2c+3ab^2+3a^2b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Em có cách này tuy nhiên không chắc,do em mới học sos thôi,mong mọi người giúp đỡ ạ!

BĐT \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{7b^3+3ab^2-7a^2b-3a^3}{2a+3b}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{7b\left(b^2-a^2\right)+3a\left(b^2-a^2\right)}{2a+3b}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{\left(b^2-a^2\right)\left(7b+3a\right)}{2a+3b}-2\left(b^2-a^2\right)\right)\ge0\) (ta không cần cộng thêm \(\Sigma_{cyc}2\left(b^2-a^2\right)\) vì \(\Sigma_{cyc}2\left(b^2-a^2\right)=\Sigma_{cyc}2\left(b^2-a^2+c^2-b^2+a^2-c^2\right)=0\))

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(b^2-a^2\right)\left(\frac{7b+3a-4a-6b}{2a+3b}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{2a+3b}\ge0\)

P/s: Hình như có gì đó sai sai ạ,mong mọi người check hộ em!Em cảm ơn nhiều ạ!

sos helps :3

Bạn viết đề sai, nếu VT là \(\sum\dfrac{1}{\sqrt{7a^2-12ab+b^2}}\) thì vế phải là \(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

VT là \(\sum\dfrac{1}{\sqrt{7a^2-13ab+7b^2}}\) thì VP mới là 3 được

Từ \(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\) (chia 2 vế cho abc)

Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{7\left(a^2+b^2\right)-12ab}}\le\dfrac{1}{\sqrt{14ab-12ab}}=\dfrac{1}{\sqrt{2ab}}\)

Tương tự\(\dfrac{1}{\sqrt{7b^2-12bc+7c^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2bc}}\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{7a^2-12ac+7c^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2ac}}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\right)\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Lời giải:

Với $ab+bc+ac=1$ thì:

$a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)$

$b^2+1=b^2+ab+bc+ac=(b+a)(b+c)$

$c^2+1=c^2+ab+bc+ac=(c+a)(c+b)$

$\Rightarrow A=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)=[(a+b)(b+c)(c+a)]^2$ là scp 

Ta có đpcm.