Tham khảo hình vẽ:

a) Gọi \(D = HK \cap AC\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}D \in AC \subset \left( {ABC} \right)\\D \in HK\end{array} \right\} \Rightarrow M = HK \cap \left( {ABC} \right)\)

b) Gọi \(E = SI \cap BK\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}E \in SI \subset \left( {SAI} \right)\\E \in BK \subset \left( {ABK} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {ABK} \right)\)

Mà \(A \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {ABK} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAI} \right)\) và \(\left( {ABK} \right)\) là đường thẳng \(AE\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}I \in \left( {SAI} \right)\\I \in BC \subset \left( {BCH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {BCH} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in SA \subset \left( {SAI} \right)\\H \in \left( {BCH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {BCH} \right)\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAI} \right)\) và \(\left( {BCH} \right)\) là đường thẳng \(HI\).

+ Chọn mặt phẳng phụ (ABC)  chứa BC.

+ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IHK) .

Ta có H là điểm chung thứ nhất của (ABC ) và (IHK) .

Trong mặt phẳng (SAC)  do IK  không song song với AC nên gọi  giao điểm của IK và CA là F. Ta có

- F thuộc AC mà  A C ⊂ A B C nên  F ∈ A B C

- F thuộc IK mà  I K ⊂ I H K nên  F ∈ I H K

Suy ra F là điểm chung thứ hai của  (ABC) và (IHK) .

Do đó giao tuyến của (ABC) và (IHK) là HF.

+ Trong mặt phẳng (ABC) , gọi giao điểm HF và BC là E. Ta có

▪ E thuộc HF mà  H F ⊂ I H K → E ∈ I H K

▪E thuộc BC.

Vậy  giao điểm của BC và (IHK) là E.

 Chọn C

Ta có

+ M thuộc SB  suy ra M  là điểm chung của (LMN) và ( SBC) .

+ I  là điểm chung của (LMN) và (SBC)

+ J  là điểm chung của (LMN) và (SBC) .

Vậy M; I; J  thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của (LMN)  và (SBC).

Chọn B.

+ Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.                       

+ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (AMB).

Ta có B là điểm chung thứ nhất của 2 mp đó.

 Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AM và SO.

 Ta có:

+ K thuộc SO mà S O ⊂ S B D suy ra  K ∈ S B D

+ K thuộc AM mà  A M ⊂ A B M suy ra K ∈ A B M

Suy ra K  là điểm chung thứ hai của (SBD)  và (ABM).

Do đó giao tuyến của 2 mp này là: BK..

+ Trong mặt phẳng (SBD), gọi SD và BK cắt nhau tại N. Ta có:

▪ N thuộc BK mà B K ⊂ A B M suy ra N ∈ A B M .

▪ N thuộc SD

Vậy giao điểm của SD và (ABM) là N.

Chọn C.

a: Xét ΔBIE và ΔMIA có

\(\widehat{IEB}=\widehat{IAM}\)(hai góc so le trong, BE//AM)

IE=IA

\(\widehat{BIE}=\widehat{MIA}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔBIE=ΔMIA

=>BE=AM

b: Xét ΔIAN và ΔIEC có

IA=IE

\(\widehat{AIN}=\widehat{EIC}\)(hai góc đối đỉnh)

IN=IC

Do đó: ΔIAN=ΔIEC

=>\(\widehat{IAN}=\widehat{IEC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AN//EC

Ta có: AN//EC

AM//EC

AN,AM có điểm chung là A

Do đó: N,A,M thẳng hàng

Chọn đáp án B

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên mỗi mặt bên là một tam giác cân tại đỉnh S.

Theo giả thiết ta có

Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải các mặt bên thành một mặt phẳng ta được hình vẽ bên sao cho khí ghép lại thì A ≡ A '

Suy ra A S A ' ⏜ = 4 . A S B ⏜ = π 3 và ∆ S A A ' đều cạnh SA = a

Khi đó tổng AM + MN + NP + PQ là tổng của các đường gấp khúc.

Tổng này đạt nhỏ nhất bằng AQ nếu xảy ra trường hợp các điểm A, M, N, P, Q thẳng hàng.

Mà  ∆ S A A ' đều có Q là trung điểm SA nên A Q = S A 3 2 = a 3 2  

Vậy m i n A M + M N + N P + P Q = a 3 2