Lời giải:

a) 

\(5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}=5.25^n+16.2^n+2.2^n\)

\(\equiv 5.2^n+16.2^n+2.2^n\pmod {23}\)

\(\equiv 23.2^n\equiv 0\pmod {23}\)

Ta có đpcm.

b) 

\(2^{2n+2}+24n+14\) hiển nhiên chia hết cho $2(1)$

Mặt khác:

Nếu $n=3k+1$:

$2^{2n+2}+24n+14=2^{6k+4}+72k+38$

$=16.2^{6k}+72k+38\equiv 16+72k+38=54+72k\equiv 0\pmod 9$

Nếu $n=3k$:

$2^{2n+2}+24n+14=2^{6k+2}+72k+14=4.2^{6k}+72k+14$

$\equiv 4+72k+14=18+72k\equiv 0\pmod 9$

Nếu $n=3k+2$:

$2^{2n+2}+24n+14=2^{6k+6}+72k+62\equiv 1+72k+62$

$\equiv 63+72k\equiv 0\pmod 9$

Vậy tóm lại $2^{2n+2}+24n+14$ chia hết cho $9$ (2)

Từ $(1);(2)\Rightarrow 2^{2n+2}+24n+14\vdots 18$ (đpcm)

bạn lên app QuandA hỏi nha, gia sư sẽ cho bạn đáp án chính xác

a) Ta có:

(5^2n+1) + (2^n+4) + (2^n+1) = (25^n).5 - 5.(2^n) + (2^n).( 5 + 2^4 +2) = 5.( 25^n - 2^n ) + 23.2^n chia hết cho 23. 
 

link câu b: https://olm.vn/hoi-dap/detail/5937426943.html

1+2+3+4+5+6+7+8+9=133456 hi hi

đào xuân anh sao mày gi sai hả

???????????????????
 

Bài này khó quá mình không giải trực tiếp được, thoi đi quy nạp nha:

Với \(n=0\Rightarrow2^{2n+2}+24n+14=18⋮18\)

Với \(n=1\Rightarrow2^{2n+2}+24n+14=54⋮18\)

+) Giả sử giả thiết đúng tới \(n=k,k\inℕ,n>k>2\Rightarrow2^{2k+2}+24k+14⋮18\)

+) Cần chứng minh giả thiết đúng với \(n=k+1:\)

Xét \(2^{2\left(k+1\right)+2}+24\left(k+1\right)+14⋮18\)

\(\Leftrightarrow2^{2+\left(2k+2\right)}+24k+24+14⋮18\)

\(\Leftrightarrow2^2.2^{2k+2}+24k+14+24⋮18\)

\(\Leftrightarrow\left(2^{2k+2}+24k+14\right)+3.2^{2k+2}+24⋮18\)(1)

Vì \(\left(2^{2k+2}+24k+14\right)⋮18\)nên (1)\(\Leftrightarrow3.2^{2k+2}+24⋮18\)(2)

Vì \(3.2^{2k+2}+24⋮6\)nên (2)\(\Leftrightarrow2^{2k+1}+4⋮3\)

Xét \(2^{2k+1}=\left(3-1\right)^{2k+1}\)Vì (2k+1) là số lẻ nên\(\left(3-1\right)^{2k+1}\)có dạng 3A-1 (tức là chia 3 dư 2 đấy !)

(Điều này có thể được chứng minh bằng cách xét số dư khi chia lũy thừa của 2 cho 3, còn để chứng minh chặt chẽ thì đợi lên lớp 11 học nhị thức Newton nha !!)

Vậy (2)\(\Leftrightarrow3A-1+4⋮3\Leftrightarrow3A+3⋮3\)--->đúng \(\forall k,n>k>2\)

Vậy giả thiết đúng \(\forall n\inℕ\)

Chứng minh quy nạp giống bạn Ngọc 

.Giả thiêt đúng với n = 0 

G/s giả thiết đúng với n 

Cần chứng minh giả thiết đúng với n+1

Ta có: \(2^{2\left(n+1\right)+2}+24\left(n+1\right)+14\)

\(=2^{2n+2}.4+24n+24+14\)

\(=\left(2^{2n+2}+24n+14\right)+\left(3.2^{2n+2}+24\right)\)

Vì \(2^{2n+2}+8\equiv\left(-1\right)^{2n+2}+8\equiv9\equiv0\left(mod9\right)\)

\(\Rightarrow3.2^{2n+2}+24⋮9\) và dĩ nhiên là \(3.2^{2n+2}+24⋮2\) mà ( 2; 9) = 1

\(\Rightarrow3.2^{2n+2}+24⋮18\)

Theo điều G/s \(\left(2^{2n+2}+24n+14\right)⋮18\)

=> \(\left(2^{2n+2}+24n+14\right)+\left(3.2^{2n+2}+24\right)⋮18\)

=> \(2^{2\left(n+1\right)+2}+24\left(n+1\right)+14⋮18\)

=> giả thiết đúng với n + 1 

Vậy giả thiết đúng với mọi n 

Bài 1: 

b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)

\(=4n^2-9-4n^2+36n\)

\(=36n-9⋮9\)