a/

Ta có

HA=HO (gt)

\(OA\perp CD\left(gt\right)\) => HC=HD (Trong đường tròn đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung)

=> OCAD là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành)

Mà \(OA\perp CD\left(gt\right)\)

=> OCAD là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuôn góc là hình thoi)

b/ Kéo dài AO cắt (O) tại K ta có

\(\widehat{ACK}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông ACK có

\(OA=OK\Rightarrow OC=OA=OK=\dfrac{AK}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Mà \(OC=AC\) (cạn hình thoi)

\(\Rightarrow OC=AC=OA\) => tg ACO là tg đều \(\Rightarrow\widehat{AOC}=60^o\)

Mà \(\widehat{AOD}=\widehat{AOC}=60^o\) (trong hình thoi mỗi đường chéo là phân giác của 2 góc đối)

\(\Rightarrow\widehat{AOC}+\widehat{AOD}=\widehat{COD}=60^o+60^o=120^o\)

c/

Xét tg vuông COI có

\(\widehat{CIO}=90^o-\widehat{AOC}=90^o-60^o=30^o\)

\(\Rightarrow OC=\dfrac{1}{2}OI\) (trong tg vuông cạnh đối diện với góc \(30^o\) bằng nửa cạnh huyền

\(\Rightarrow OI=2.OC=2R\)

\(\Rightarrow CI=\sqrt{OI^2-OC^2}\) (Pitago)

\(\Rightarrow CI=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

d/

Xét tg COI và tg DOI có

OC=OD=R

OI chung

\(\widehat{AOC}=\widehat{AOD}\) (cmt)

=> tg ACO = tg ADO (c.g.c)\(\Rightarrow\widehat{ODI}=\widehat{OCI}=90^o\) => DI là tiếp tuyến với (O)

e/

Ta có

\(sđ\widehat{COD}=sđcungCD=120^o\) (góc có đỉnh là tâm đường tròn)

\(sđ\widehat{ACD}=\dfrac{1}{2}sđcungCD=60^o\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}sđcungCD=60^o\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

Xét tg ACD có

\(\widehat{CAD}=180^o-\left(\widehat{ACD}+\widehat{ADC}\right)=180^o-\left(60^o+60^o\right)=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{ACD}=\widehat{ADC}=60^o\) => tg ACD là tg đều

f/

Ta có 

\(\widehat{ECD}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow EC\perp CD\)

\(OA\perp CD\left(gt\right)\Rightarrow OI\perp CD\)

=> EC//OI (cùng vuông góc với CD)

a: kẻ OH\(\perp\)CD tại H

Ta có: OH\(\perp\)CD

AP\(\perp\)CD

QB\(\perp\)CD

Do đó: OH//AP//QB

Xét hình thang ABQP(AP//QB) có

O là trung điểm của AB

OH//AP//BQ

Do đó: H là trung điểm của PQ

=>HP=HQ

Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

=>HC=HD

Ta có: HC+CP=HP

HD+DQ=HQ

mà HP=HQ và HC=HD

nên CP=DQ

b: Ta có: ΔOCD vuông tại O

=>\(OC^2+OD^2=CD^2\)

=>\(CD^2=R^2+R^2=2R^2\)

=>\(CD=R\sqrt{2}\)

Xét ΔOAC có OA=OC=AC=R

nên ΔOAC đều

=>\(\widehat{CAO}=60^0\)

=>\(\widehat{CAB}=60^0\)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C có \(sinCAB=\dfrac{CB}{AB}\)

=>\(\dfrac{CB}{2R}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(CB=R\sqrt{3}\)

Tự vẽ hình

a) Do \(CD\) vuông góc \(AB\) nên \(AB\) là trung trực của \(CD\) (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

\(\Rightarrow AC=AD\Rightarrow sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{AD}\)

Mà \(sđ\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{AOC}=50^0\Rightarrow sđ\stackrel\frown{AD}=50^0\).

Do \(DE\) song song \(AB\)

\(sđ\stackrel\frown{BE}=sđ\stackrel\frown{AD}=50^0\Rightarrow\widehat{BOE}=sđ\stackrel\frown{BE}=50^0\).

b) Do \(B\in\stackrel\frown{CE}\Rightarrow sđ\stackrel\frown{CBE}=sđ\stackrel\frown{CB}+sđ\stackrel\frown{BE}\)

\(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{CBE}=\widehat{COB}+\widehat{BOE}=180^0-\widehat{AOC}+\widehat{BOE}\)

\(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{CBE}=180^0-50^0+50^0=180^0\)

\(\Rightarrow\) CE là đường kính

\(\Rightarrow\) C, O, E thẳng hàng.

Sửa lại đề của bạn là:

Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Dây cung CD không đi qua tâm O sao cho góc COD=90 độ. CD cắt AB ở E (D nằm giữa E và C ) sao cho OE=2R . Tính EC và ED theo R.

Bài làm:

Kẻ \(OM\perp CE\)và \(BN\perp CE\). Khi đó

Do COD là tam giác vuông cân nên \(CD=R\sqrt{2}\)và \(OM=MD=\frac{R\sqrt{2}}{2}\)

Ta có EB = BO và BN // OM nên EN = MN

suy ra NB là đường trung bình của tam giác vuông EMO nên \(NB=\frac{OM}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{4}\)

Xét tam giác vuông ENB có \(EN=\sqrt{EB^2-BN^2}=\sqrt{R^2-\frac{2R^2}{4^2}}=\frac{R\sqrt{14}}{4}\)

mà MN = EN suy ra

\(DN=MN-MD=\frac{R\sqrt{14}}{4}-\frac{R\sqrt{2}}{2}=\frac{R\sqrt{14}-2R\sqrt{2}}{4}\)

Vậy \(ED=EN+ND=\frac{R\sqrt{14}}{4}+\frac{R\sqrt{14}-2R\sqrt{2}}{4}=\frac{R\sqrt{14}-R\sqrt{2}}{2}\)

\(EC=ED+DC=\frac{R\sqrt{14}-R\sqrt{2}}{2}+R\sqrt{2}=\frac{R\sqrt{14}+R\sqrt{2}}{2}\)

a, Tính được sđ  B E ⏜ = 50 0

b, Chứng minh được sđ  C B E ⏜ = 180 0

=> C, O, E thẳng hàng (ĐPCM)

Theo đầu bài thì CD cắt AB ở E (D nằm giữa E và C) nhưng D không thể nằm giữa E và C. DE = 2R = AB nhưng DE chỉ bằng R nên DE không thể bằng AB nên bài toán này không có cách giải.