Em tham khảo ở đây:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: \(3^x-2^y=1\)   - Hoc24

Dễ thấy 555 và 3x đều chia hết cho 3 nên 2y chia hết cho 3.Mà (555;2) = 1 nên y chia hết cho 3.

Đặt y = 3k (\(k\inℕ^∗\)) suy ra \(3x+6k=555\Leftrightarrow x+2k=185\Rightarrow x=185-2k\)

Do x nguyên dương nên \(185-2k\ge1\Leftrightarrow2k\le184\Leftrightarrow k\le92\)

Kết hợp \(k\inℕ^∗\) suy ra \(1\le k\le92\)

Từ đây suy ra \(\hept{\begin{cases}x=185-2k\\y=3k\end{cases}}\left(1\le k\le92;k\inℕ^∗\right)\)

Lời giải:

$3^x.x^2=4y(y+1)$ nên $x$ chẵn. Đặt $x=2a$ ta có:

$3^{2a}.a^2=y(y+1)\Leftrightarrow (3^a.a)^2=y(y+1)$

Dễ thấy $(y,y+1)=1$ nên để tích của chúng là scp thì $y,y+1$ là scp.

Đặt $y=m^2; y+1=n^2$ với $m,n$ tự nhiên.

$\Rightarrow 1=(n-m)(n+m)$

$\Rightarrow n=1; m=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=0$

Ta có 3x + 4y = −10 ⇔ 3x = −4y – 10  ⇔ x = − 4 y − 10 3 ⇔ x = − y − y + 10 3

Đặt y + 10 3 = t t ∈ ℤ ⇒ y = 3t – 10 ⇒ x = − (3t – 10) – t = −4t + 10

Hay nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = −10 là  x = − 4 t + 10 y = 3 t − 10 t ∈ ℤ

Vì x; y nguyên âm hay x < 0; y < 0 nên  − 4 t + 10 < 0 3 t − 10 < 0 ⇔ t > 2 , 25 t < 10 3

mà t ∈ ℤ ⇒ t = 3

Suy ra x = −4.3 + 10 = −2; y = 3.3 – 10 = −1 nên nghiệm nguyên âm cần tìm là (a; y) = (−2; −1) ⇒ x.y = 2

Đáp án: A