\(mx^2+\left(m+1\right)x-2m\le0\) (1)

Nếu \(m=0\) thì dễ thấy (1) có nghiệm \(x\le0\)

Xét \(m\ne0\) Khi đó (1) là bất phương trình bậc hai với a=m. 

Ngoài ra, biệt thức

\(\Delta=9m^2+2m+1=\left(3m+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{9}>0\)  \(\curlyvee m\in R\). Từ đó ta có ngay kết luận :

- Khi m < 0, bất phương trình (1) có tập nghiệm

T(1) = \(\left(x;\frac{-m-1+\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m}\right)\)\(\cup\)\(\left(\frac{-m-1-\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m};+\infty\right)\)

- Khi m = 0, bất phương trình (1) có tập nghiệm T(1) =R+

- Khi m>0, bất phương trình (1) có tập nghiệm

T(1)=\(\left(\frac{-m-1-\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m};\frac{-m-1+\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m}\right)\)

minh chịu thôi

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\le0\)

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta được nghiệm của BPT là: 

\(\left[{}\begin{matrix}-2< x< 2\\3\le x\le4\end{matrix}\right.\)

\(\begin{cases}\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0\\x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\le0\end{cases}\)  (1)

Xét các bất phương trình thành phần

\(\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0\)  (a)

\(x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\le0\)  (b)

Ta có T(1)=T(a)\(\cap\) T(b)

Lập bảng xét dấy 

\(f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\)

Từ bảng xét dấu ta được T(a) = \(\left[-1;1\right]\cup\left[2;+\infty\right]\)

Từ : \(x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\) ta có các nghiệm x= a; x=2a+1

- Nếu \(a\le2a+1\Leftrightarrow a\ge-1\) thì T(b) = \(\left[a;2a+1\right]\)

Xét các trường hợp sau :

         + Trường hợp 1 :

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\-1\le2a+1\le1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\0\le a\le0\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(-1\le a\le0\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;2a+1\right]\)

          + Trường hợp 2 

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\1<2a+1<2\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\a\in\left\{0;\frac{1}{2}\right\}\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(-1\le a\le0\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;1\right]\)

    + Trường hợp 3 

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\2\le2a+1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\\frac{1}{2}\le a\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\frac{1}{2}\le a\le1\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;1\right]\cup\left[2;2a+1\right]\)

   + Trường hợp 4

   1<a<2 suy ra 2a+1>3>2. Khi đó ta có Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[2;2a+1\right]\)

   + Trường hợp 5 :

   a\(\ge\)2 suy ra 2a+1 \(\ge\) a \(\ge\) 2. Khi đó T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;2a+1\right]\)

- Nếu 2a+1<a \(\Leftrightarrow\) a<-1 thì T(b) = \(\left[a;2a+1\right]\)

Khi đó ta có T(a)\(\cap\) T(b) = \(\varnothing\) nên (1) vô nghiệm

Từ đó ta kết luận :

+ Khi a<-1 hệ vô nghiệm T(1) =\(\varnothing\)

+  Khi \(-1\le a\le0\) hoặc \(a\ge2\) hệ có tập nghiệm T (1) = \(\left[a;2a+1\right]\)

+ Khi 0<a<\(\frac{1}{2}\)  hệ có tập nghiệm T(1) = \(\left[a;1\right]\)

+ Khi \(\frac{1}{2}\)\(\le\)a \(\le\)1 hệ có tập nghiệm T(1) = \(\left[a;1\right]\cup\left[2;2a+1\right]\)

+ Khi 1<a<2, hệ có tập nghiệm T(1) =\(\left[2;2a+1\right]\)

Điều kiện xác định \(x\ge0\).
Do \(\sqrt{x}\ge0\) với mọi \(x\ge0\) nên BPT có nghiệm khi:
\(m-1\le0\Leftrightarrow m\le1\).
vậy ta có các trường hợp sau:
- Nếu \(m\le1\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\ge0\).
- Nếu \(m>1\) bất phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

ĐK: $x\neq -5; n\neq 0$

\(\frac{(2x+1)^4(x-3)^3}{(x+5)^2x^5}\leq 0\Leftrightarrow \left[\frac{(2x+1)^2(x-3)}{(x+5)x^2}\right]^2.\frac{x-3}{x}\leq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-3}{x}\leq 0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-3\geq 0; x< 0\\ x-3\leq 0; x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 0> x\geq 3(\text{vô lý})\\ 3\geq x>0\end{matrix}\right.\)

Vậy $3\geq x>0$

1: \(\Leftrightarrow\dfrac{3+2x-2}{x-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x+1}{x-1}>0\)

=>x>1 hoặc x<-1/2

2: \(\Leftrightarrow\dfrac{1-6x-2}{3x+1}< =0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6x+1}{3x+1}>=0\)

=>x>1/3 hoặc x<=-1/6