\(y'=3x^2+\dfrac{1}{x^6}+m\)

Hàm đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\Leftrightarrow y'\ge0;\forall x>0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+\dfrac{1}{x^6}+m\ge0\)

\(\Leftrightarrow-m\le3x^2+\dfrac{1}{x^6}\)

\(\Leftrightarrow-m\le\min\limits_{x>0}\left(3x^2+\dfrac{1}{x^6}\right)\)

Ta có:

\(3x^2+\dfrac{1}{x^6}=x^2+x^2+x^2+\dfrac{1}{x^6}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{x^6}{6}}=4\)

\(\Rightarrow-m\le4\Rightarrow m\ge-4\)

\(\Rightarrow m=\left\{-4;-3;-2;-1\right\}\)

Đáp án D

Hàm số xác định và liên tục trên khoảng  0 ; + ∞

Ta có  y ' = 3 x 2 + m + 1 x 6 ,   ∀ x ∈ 0 ; + ∞ . Hàm số đồng biến trên khoảng  0 ; + ∞  khi và chỉ khi  y ' = 3 x 2 + m + 1 x 6 ≥ 0 ,   ∀ x ∈ 0 ; + ∞ . Dấu đẳng thức xảy ra ở hữu hạn điểm trên  0 ; + ∞ .

⇔ m ≥ − 3 x 2 − 1 x 6 = g x ,   ∀ x ∈ 0 ; + ∞

Ta có  g ' x = − 6 x + 6 x 7 = − 6 x 2 + 6 x 7 ;   g ' x = 0 ⇔ x = 1

Bảng biến thiên

Suy ra  m ≥ g x ,   ∀ x ∈ 0 ; + ∞ ⇔ m ≥ max m ∈ 0 ; + ∞ g x = g 1 = − 4

Mà  m ∈ ℤ ⇒ m ∈ − 4 ; − 3 ; − 2 ; − 1 .

y ' = 3 x 2 + 1 x 6 + m ≥ 0 ∀ x ∈ 0 ; + ∞

Áp dụng định lý cosi cho 4 số dương

3 x 2 + 1 x 6 = x 2 + x 2 + x 2 + 1 x 6 ≥ 4 x 2 . x 2 . x 2 . 1 x 6 4 = 4

Để hàm số đồng biến trên khoảng 0 ; + ∞ thì

3 x 2 + 1 x 6 + m ≥ m + 4 ≥ 0

⇔ m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ - 4

Vậy tập các giá trị nguyên âm của m S = { -1;-2;-3;-4 }

Đáp án cần chọn là C

Đáp án D.

Ta có y ' = 3 x 2 + m + 1 x 6  để hàm số đồng biến trên khoảng 0 ; + ∞  thì  y ' ≥ 0 , ∈ 0 ; + ∞

Ta dễ có

⇔ 3 x 2 + 1 x 6 = x 2 + x 2 + x 2 + 1 x 6 ≥ 4 ⇒ 3 x 2 + 1 x 6 + m ≥ m + 4 ≥ 0 ⇒ m ≥ − 4

Theo bài ta có  m ∈ − 4 ; − 3 ; − 2 ; − 1 .

Đáp án D.

Đáp án D

y ' = 3 x 2 + m + 5 x 4 5 x 10 = 3 x 2 + m + 1 x 6 ≥ 0    ∀ x ∈ ( 0 ; + ∞ ) ⇒ − m ≤ 3 x 2 + 1 x 6    ∀ x ∈ ( 0 ; + ∞ ) ⇒ − m ≤ min ( 0 ; + ∞ ) ( 3 x 2 + 1 x 6 ) 3 x 2 + 1 x 6 = x 2 + x 2 + x 2 + 1 x 6 ≥ 4 x 2 . x 2 . x 2 . 1 x 6 4 = 4 ⇒ m ≥ − 4 ⇒ m = − 4 ; − 3 ; − 2 ; − 1

Đáp án đúng : C

Đáp án B