Cho hình thang ABCD vuông tạ A và D. AB=AD=a, CD=2a. Khi đó tích vô hướng \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)
cho hình thang vuông abcd đường cao ab = a, đáy lớn bc = 2a, đáy nhỏ ad = a
tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\) từ đó suy ra giá trị của cos (\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\))
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{5}\)
\(BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=a\sqrt{2}\)
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=-\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}\)
\(=-\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AD}.2\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}^2+2\overrightarrow{AD}^2\)
\(=-a^2+2a^2=a^2\)
\(cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}}{AC.BD}=\dfrac{a^2}{a\sqrt{2}.a\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \)
Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
+) \(AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)
+) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a\sqrt 2.\cos 45^\circ = a^2\)
+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 135^\circ = - {a^2}\)
+) \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0\)
Chú ý
\(\overrightarrow {a} \bot \overrightarrow {b} \Leftrightarrow \overrightarrow {a} .\overrightarrow {b} = 0\)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
b) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \)
a) Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = a.a\sqrt 2 .\cos \widehat {BAC} = {a^2}\sqrt 2 \cos {45^o} = {a^2}.\)
b) Dễ thấy: \(AC \bot BD \Rightarrow (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ) = {90^o}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = AC.BD.\cos {90^o} = AC.BD.0 = 0.\)
Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC=3a, đáy nhỏ AD=2a
a) Tính \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)
b) Gọi I là trung điểm CD. Tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BD}\). Suy ra góc giữa AI và BD
Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, \(\widehat {BAD} = {60^o}\) (Hình 73).
a) Biểu thị các vecto \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} .\)
b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AC} .\)
c) Tính độ dài các đường chéo \(BD,AC.\)
a) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\)
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 4.6.\cos \widehat {BAD} = 24.\cos {60^o} = 12.\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = {4^2} + 12 = 28.\\\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AC} = (\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} )(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) = {\overrightarrow {AD} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} = {6^2} - {4^2} = 20.\end{array}\)
c) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABD ta có:
\(\begin{array}{l}\quad \;B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos A\\ \Leftrightarrow B{D^2} = {4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {60^o} = 28\\ \Leftrightarrow BD = 2\sqrt 7 .\end{array}\)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}\quad \;A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos B\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {120^o} = 76\\ \Leftrightarrow AC = 2\sqrt {19} .\end{array}\)
Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB=2a, cạnh đáy AD=a và BC=3a. Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC}\). Tìm k để \(\overrightarrow{BM}\perp\overrightarrow{CD}\)
Cho hình thang vuông ABCD có A=D=90\(^o\) . Biết AB=AD=a, C=45\(^o\). Tính |\(\overrightarrow{CD}\)|,
|\(\overrightarrow{BD}\)|.
Cho tình hình ABCD có AB = 3a; AD = 5a. Góc BAD bằng \(120^0\) :
a) Tìm các tích vô hướng sau : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)
b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
cho hình thang ABCD có 2 đáy AB=a, CD = 2a Gọi M, N là trung điểm AD và BC Khi đó \(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}|\) bằng:
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{MN}\right|\)\(=\left|\overrightarrow{DC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}-\frac{3}{4}\overrightarrow{DC}\right|=\frac{1}{A}DC=\frac{a}{2}\)