Có \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=x-\sqrt{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2-\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2\right]\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=x-\sqrt{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow-y-\sqrt{y^2+1}=x-\sqrt{x^2+1}\) (1)

Lại có:\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\left(y-\sqrt{y^2+1}\right)=y-\sqrt{y^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left[y^2-\left(\sqrt{y^2+1}\right)^2\right]=y-\sqrt{y^2+1}\)

\(\Leftrightarrow-x-\sqrt{x^2+1}=y-\sqrt{y^2+1}\)  (2)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế có:

\(-\left(y+x\right)-\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\right)=x+y-\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=0\) hay S=0

Vậy...

+) y = f(x) = \(\frac{1}{2x-2}\)

GTBT được xác định khi \(2x-2\ne0\rightarrow x\ne1\)

Vậy \(x\ne1\) thì hàm số y = f(x) = \(\frac{1}{2x-2}\) xác định.

+) y = f(x) = \(\frac{2x-1}{3x-2}\ne0\)

GTBT được xác định khi \(3x-2\ne0\rightarrow x\ne\frac{2}{3}\)

Vậy \(x\ne\frac{2}{3}\) thì hàm số y = f(x) = \(\frac{2x-1}{3x-2}\) xác định.

\(S>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\Rightarrow S>1\)

\(S< \frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}\Rightarrow S< 2\)

\(\Rightarrow1< S< 2\)

Ta dễ dàng nhận thấy : 

\(\left(\frac{x+1}{y}\right)^2\ge0\)

\(\left(\frac{y+1}{x}\right)^2\ge0\)

Cộng theo vế ta được : 

\(\left(\frac{x+1}{y}\right)^2+\left(\frac{y+1}{x}\right)^2\ge0\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=-1\)

Vậy \(Min_S=0\)khi \(x=y=-1\)

dcv_new : sai rồi nhé 
\(S=x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{2x}{y}+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{2y}{x}\)

\(\ge4+\frac{4}{x^2+y^2}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(=5+4=9\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=\(\sqrt{2}\)