Nhân c vào 2 vế BĐT a<b, ta được:

ac<bc (1)

Nhân b vào 2 vế BĐT c<d, ta được:

bc<bd (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

ac<bd (tính chất bắc cầu)

\(ac+bd=\left(b+d+a-c\right)\left(b+d-a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow ac+bd=\left(b+d\right)^2-\left(a-c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow ac+bd=b^2+d^2+2bd-a^2-c^2+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2-c^2=b^2+d^2+ac+bd\) (1)

Ta có

\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=a^2bd+ab^2c+acd^2+bc^2d=\)

\(=bd\left(a^2+c^2\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\) (2)

Thay (1) vào (2)

\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2+ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2\right)+bd\left(ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(b^2+d^2\right)\left(ac+bd\right)+bd\left(ac+bd\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(ac+bd\right)\left(b^2+d^2+bd\right)\) (3)

Do \(a>b>c>d\)

\(\Rightarrow\left(a-d\right)\left(b-c\right)>0\Leftrightarrow ab-ac-bd+cd>0\)

\(\Leftrightarrow ab+cd>ac+bd\) (4)

Và 

\(\left(a-b\right)\left(c-d\right)>0\Leftrightarrow ac-ad-bc+bd>0\)

\(\Leftrightarrow ac+bd>ad+bc\) (5)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow ab+cd>ad+bc\) 

Ta có

(3)\(\Leftrightarrow b^2+d^2+bd=\dfrac{\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)}{\left(ac+bd\right)}\) (6)

Vế trái là số nguyên => vế phải cũng phải là số nguyên

Giả sử ab+cd là số nguyên tố mà \(ab+cd>ac+bd\)

\(\Rightarrow UC\left(ab+cd;ac+bd\right)=1\) => ab+cd không chia hết cho ac+bd

=> để vế phải của (6) là số nguyên \(\Rightarrow ad+bc⋮ac+bd\Rightarrow ad+bc>ac+bd\) Mâu thuẫn với (5) nên giả sử sai => ab+cd không thể là số nguyên tố

mình là người mới ,cho mình hỏi làm sao để kiếm xu đổi quà

Gọi \(ƯCLN\left(a,b\right)=k\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=a1.k\\b=b1.k\end{cases}}\)          \(ƯCLN\left(a1;b1\right)=1\)

Vì \(ac=bd\Rightarrow a1.k.c=b1.k.d\Rightarrow a1.c=b1.d\left(1\right)\)\(\Rightarrow a1.c⋮b1\)mà \(ƯCLN\left(a1;b1\right)=1\)\(\Rightarrow c⋮b1\Rightarrow c=b1.m\left(2\right)\)

Thay (2) vào (1).Ta có:

\(b1.m.a1=b1.d\Rightarrow a1.m=d\)

Vậy \(a+b+c+d=b1.m+a1.m+k.a1+k.b1\)

\(=\left(a1+b1\right)\left(k+m\right)\)

Mà a1; b1; k; m là số nguyên dương nên \(\left(a1+b1\right)\left(k+m\right)\)là hợp số. Vậy a+b+c+d là hợp số.

Ta có:

\(a=\frac{bd}{c};b=\frac{ac}{d};c=\frac{bd}{a};d=\frac{ac}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{bd}{c}+\frac{bd}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ac}{d}\)

\(=bd\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+ac\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)\)

\(=ac\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+ac\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)\)( Vì ac = bd )

\(=ac\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\)

Khi đó: \(ac\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\)chia hết cho a,c,ac,1

=> a + b + c + d là hợp số

Vậy a + b + c + d là hợp số.

\(ac=bd\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{d}{c}=k\) 

Chú ý rằng k> 0 vì a,b,c,d>0;

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\d=ck\end{cases}}\)

Thay vào: \(a+b+c+d=bk+b+c+ck=\left(k+1\right)\left(b+c\right)\)

Vì k>0 => k+1 khác 1 do đó a+b+c+d có ước là 1, chính nó và một ước là k+1 nên là hợp số

Có $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=(a+b)^2+(c+d)^2+e^2-2ab-2cd$

$=(a+b+c+d)^2+e^2 -2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd$

$=(a+b+c+d+e)^2-2.(a+b+c+d).e-2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd$

Mà $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\vdots 2;-2.(a+b+c+d).e-2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd \vdots 2$ nên $(a+b+c+d+e)^2 \vdots 2$

Suy ra $a+b+c+d+e \vdots 2$

$a;b;c;d;e$ nguyên dương nên $a+b+c+d>2$

suy ra $a+b+c+d+e$ là hợp số

Giúp mình câu này với ah.

\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{d+a}=2\)

\(1-\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{b}{b+c}+1-\dfrac{c}{c+d}-\dfrac{d}{d+a}=0\)

\(\dfrac{b}{a+b}-\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{d}{c+d}-\dfrac{d}{d+a}=0\)

\(\dfrac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)

<=>b(c+d)(d+a)+d(a+b)(b+c)=0 (vì c≠a)

<=>abc-acd+bd²-b²d=0

<=> (b-d)(ac-bd)=0 <=> ac - bd =0 (vì b≠d) <=> ac = bd

Vậy abcd =(ac)(bd)=(ac)²

Vì a+b+c+d=0\(\Rightarrow a+b+c=-d\Rightarrow ac+bc+c^2=-cd\)

\(\Rightarrow\)\(ab-cd=ab+ac+bc+c^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Tương tự ta có \(bc-ad=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

                        \(ac-bd=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

Từ 3 điều trên ta suy ra đpcm

\(a^2-a=a.\left(a-1\right)⋮2\)

tương tự b²-b,c²-c,d²-d,e²-e

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-\left(a+b+c+d\right)⋮2\text{ mà }a^2+b^2+c^2+d^2+e^2⋮2\)

\(\Rightarrow a+b+c+d⋮2\text{ mà }a+b+c+d\ge4\Rightarrow a+b+c+d\text{ là hợp số}\)

sao a.(a-1) chia hết cho 2 đc