Đáp án D

Phương pháp: Chuyến sang hệ trục tọa độ trong không gian.

Cách giải:

Lấy  bất kì, M(1;1;1), N(2;1;0)

Ta thấy  N nằm khác phía so với mặt phẳng

Khi đó, S là giao điểm của MN và (P).

*) Xác định tọa độ của S: 

Phương trình đường thẳng MN: 

Vậy, biểu thức A đạt GTNN tại 

Ta có x²-xy+y²=\(\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2+3\left(\dfrac{x-y}{2}\right)^2\)\(\ge\)\(\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\)

=>\(\dfrac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}\ge\dfrac{x+y}{2\left(x+y+2z\right)}\)(1) . Tương tự ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{matrix}\right.\)(a,b,c>0). Khi đó ta có :

S=\(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}\right)\ge\dfrac{3}{4}\)  (Netbit)

Ta có:

4 A = ( x + y + z + t ) 2 ( x + y + z ) ( x + y ) x y z t ≥ 4 ( x + y + z ) t ( x + y + z ) ( x + y ) x y z t = 4 ( x + y + z ) 2 ( x + y ) x y z ≥ 4.4 ( x + y ) z ( x + y ) x y z = 16 ( x + y ) 2 x y ≥ 16.4 x y x y ≥ 64 ⇒ A ≥ 16

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x + y + z + t = 2 x + y + z = t x + y = z x = y ⇔ x = y = 1 4 z = 1 2 t = 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:

$x^3+1+1\geq 3x$

$y^3+1+1\geq 3y$

$z^3+1+1\geq 3z$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3+6\geq 3(x+y+z)\geq 3.3=9$

$\Rightarrow A=x^3+y^3+z^3\geq 3$ 

Vậy $A_{\min}=3$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=1$

\(A=\left(x^3+1+1\right)+\left(y^3+1+1\right)+\left(z^3+1+1\right)-6\)

\(A\ge3\sqrt[3]{x^3}+3\sqrt[3]{y^3}+3\sqrt[3]{z^3}-6=3\left(x+y+z\right)-6\ge3.3-6=3\)

\(A_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)

ta có \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

tương tự ta có các trường hợp còn lại và ta có 

\(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)\)

đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\)

=> \(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)

đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+ca}\)

Áp dụng bđt svác sơ ta có 

\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

mạt khác Áp dụng bđt cô si ta có 

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{cases}}\)

=> \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

=> \(A\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

=> \(S\ge\frac{3}{4}\)

dấu = xảy ra <=> x=y=z>o

ta có \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{1}{4y^2}+\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{2}xy+\frac{3}{4}y^2}\)

       \(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{3}{4}\left(x^2-2xy+y^2\right)}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\)

Ta có

          \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot\left(y+x\right)\)

Tương tự ta có các TH còn lại

Ta có

      \(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)\)

Đặt x + y = a ; y + z = b ; z + x = c

    \(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)

   Đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+cb}\)

Áp dụng BĐT Svac sơ ta có

\(A\ge\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\right)\)

Mặt khác ADBĐT Cosy ta có

    \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a\ge^22ac\end{cases}}\)

            \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

             \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

             \(\Rightarrow A\ge\frac{3}{2}\Rightarrow S\ge\frac{3}{4}\)

Dấu =xảy ra khi x=y=z>o

\(\downarrow\)