Từ công thức truy hồi ta được:

\(u_n=sin1+\dfrac{sin2}{2^2}+\dfrac{sin3}{3^2}+...+\dfrac{sinn}{n^2}\)

\(\Rightarrow\left|u_n\right|=\left|sin1+\dfrac{sin2}{2^2}+...+\dfrac{sinn}{n^2}\right|\le\left|sin1\right|+\left|\dfrac{sin2}{2^2}\right|+...+\left|\dfrac{sinn}{n^2}\right|\)

\(\Rightarrow\left|u_n\right|< \left|1\right|+\left|\dfrac{1}{2^2}\right|+\left|\dfrac{1}{3^2}\right|+...+\left|\dfrac{1}{n^2}\right|=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)

Lại có:

\(1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}=2-\dfrac{1}{n}< 2\)

\(\Rightarrow\left|u_n\right|< 2\Rightarrow u_n\) là dãy bị chặn

Đáp án đúng là: D

Ta có: u_n+1 = 2ⁿ⁺¹⁺¹ = 2ⁿ⁺²

Xét hiệu u_n+1 – u_n = 2ⁿ⁺² – 2ⁿ = 3.2ⁿ > 0 với mọi n ∈ ℕ*

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

un = sin n + cos n.

\(sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+sin\frac{13\pi}{2}=sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow-cosx+1=cosx\)

\(\Leftrightarrow2cosx=1\Rightarrow cosx=\frac{1}{2}\)

a) Ta có: \(n \ge 1\; \Rightarrow n - 1 \ge 0\; \Rightarrow {u_n} \ge 0,\;\forall \;n \in {N^*}\;\)

Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 0.

\(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để \(n - 1 < M,\;\forall \;n \in {N^*}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\forall n \in {N^*},{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} > 0.\\{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow 0 < {u_n} < 1\end{array}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

c) Ta có: 

\( - 1 < \sin n < 1\)

\( \Rightarrow  - 1 < {u_n} < 1,\forall n \in {N^*}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

d) Ta có: 

Nếu n chẵn, \({u_n} =  - {n^2} < 0\), \(\forall n \in {N^*}\).

Nếu n lẻ, \({u_n} = {n^2} > 0\), \(\forall n \in {N^*}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.

\(\Leftrightarrow sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+\frac{\pi}{3}=arcsin\left(\frac{2}{3}\right)+k2\pi\\2x+\frac{\pi}{3}=\pi-arcsin\left(\frac{2}{3}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}arcsin\left(\frac{2}{3}\right)+k\pi\\x=\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}arcsin\left(\frac{2}{3}\right)+k\pi\end{matrix}\right.\)