Gọi I là trung điểm cạnh BC, G là trọng tâm của tam giác ABC.

và DG là trục của tam giác ABC.

Trong mp (DAG), kẻ trung trực của DA cắt DG tại O thì: OD = OA = OB = OC nên O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bán kính R của mặt cầu bằng độ dài đoạn OD.

Trong tam giác ADG vuông tại G, ta có:

Mặt khác, tam giác DJO đồng dạng tam giác DGA nên:

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD đều cạnh a là  R = a 6 4

Đáp án B.

M là trung điểm của CD; N là trung điểm của AB.

Trong mặt phẳng (ABM), kẻ đường thẳng qua N, vuông góc với AB, cắt AH tại I. Khi đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Đáp án B.

H là tâm của ΔBCD  → A H   ⊥ ( B C D ) . M là trung điểm của CD; N là trung điểm của AB.

Trong mặt phẳng (ABM), kẻ đường thẳng qua N, vuông góc với AB, cắt AH tại I. Khi đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Gọi H là tâm đáy thì SH là trục của hình vuông ABCD.

Gọi M là trung điểm của SD, trong mp (SDH) kẻ trung trực của đoạn SD cắt SH tại O. Suy ra; OS = OD (1)

Mà O thuộc trục SH của hình vuông ABCD nên:

OA = OB = OC = OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB = OC = OD = OS

Do đó, O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bán kính mặt cầu là R = SO

Ta có:

Đáp án A

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Gọi H là tâm đáy thì SH là trục của hình vuông.

Gọi M là trung điểm của ABCD .

Trong mp (SDH) kẻ trung trực của đoạn SD cắt SH tại O

Thì OS = OA = OC = OD

Nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .

Bán kính mặt cầu là R = SO.

Ta có:

Gọi E là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE\perp BC\\DE\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(ADE\right)\)

Trong tam giác cân ADE (cân tại E), kẻ \(DH\perp AE\Rightarrow DH\perp\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=45^0\Rightarrow\Delta ADE\) vuông cân tại E 

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm ABC và BCD. Trong mp (ADE), qua G kẻ đường thẳng d song song DE, qua G' kẻ d' song song AE. Gọi O là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Ta có: \(AE=DE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(AG=\dfrac{2}{3}AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) ; \(OG=OG'=\dfrac{1}{3}AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(R=OA=\sqrt{AG^2+OG^2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\)

Đáp án C