a, Ta có: \(4\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow4^{2018}\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow4^{2018}-1⋮3\)

b, Ta có: \(5\equiv1\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow5^{2019}\equiv1\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow5^{2019}-1⋮4\)

c, \(4\equiv-1\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow4^{2019}\equiv-1\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow4^{2019}+1⋮5\)

d, \(5\equiv-1\left(mod6\right)\)

\(\Rightarrow5^{2017}\equiv-1\left(mod6\right)\)

\(\Rightarrow5^{2017}+1⋮6\)

1. Vì \(4\) chia \(3\) dư \(1\)

\(\Rightarrow4^{2018}\) chia \(3\) dư \(1^{2018}=1.\)

\(\Rightarrow4^{2018}-1\) chia hết cho \(3.\)

a, Ta có: 

⇒42018≡1(mod3)⇒42018≡1(���3)

⇒42018−1⋮3⇒42018−1⋮3

b, Ta có: 

⇒52019≡1(mod4)⇒52019≡1(���4)

⇒52019−1⋮4⇒52019−1⋮4

c, 

⇒42019≡−1(mod5)⇒42019≡−1(���5)

⇒42019+1⋮5⇒42019+1⋮5

d, 

⇒52017≡−1(mod6)⇒52017≡−1(���6)

⇒52017+1⋮6

Ta có:
2^2020 - 2^2017
= 2^2017. ( 2^3 - 1)
= 2^2017. ( 8 - 1 )
= 2^2017. 7 chia hết cho 7
Vậy ( 2^200 - 2^2017) chia hết cho 7

Giải:

a) \(M=21^9+21^8+21^7+...+21+1\) 

Do \(21^n\) luôn có tận cùng là 1

\(\Rightarrow M=21^9+21^8+21^7+...+21+1\) 

Tân cùng của M là:

     \(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10\) tận cùng là 0

\(\Rightarrow M⋮10\) 

\(\Leftrightarrow M⋮2;5\) 

b) \(N=6+6^2+6^3+...+6^{2020}\) 

\(N=6.\left(1+6\right)+6^3.\left(1+6\right)+...+6^{2019}.\left(1+6\right)\) 

\(N=6.7+6^3.7+...+6^{2019}.7\) 

\(N=7.\left(6+6^3+...+6^{2019}\right)⋮7\) 

\(\Rightarrow N⋮7\) 

Ta thấy: \(N=6+6^2+6^3+...+6^{2020}⋮6\) 

Mà \(6⋮̸9\) 

\(\Rightarrow N⋮̸9\) 

c) \(P=4+4^2+4^3+...+4^{23}+4^{24}\) 

\(P=1.\left(4+4^2\right)+4^2.\left(4+4^2\right)+...+4^{20}.\left(4+4^2\right)+4^{22}.\left(4+4^2\right)\) 

\(P=1.20+4^2.20+...+4^{20}.20+4^{22}.20\) 

\(P=20.\left(1+4^2+...+4^{20}+4^{22}\right)⋮20\) 

\(\Rightarrow P⋮20\) 

\(P=4+4^2+4^3+...+4^{23}+4^{24}\) 

\(P=4.\left(1+4+4^2\right)+...+4^{22}.\left(1+4+4^2\right)\) 

\(P=4.21+...+4^{22}.21\) 

\(P=21.\left(4+...+4^{22}\right)⋮21\) 

\(\Rightarrow P⋮21\) 

d) \(Q=6+6^2+6^3+...+6^{99}\) 

\(Q=6.\left(1+6+6^2\right)+...+6^{97}.\left(1+6+6^2\right)\) 

\(Q=6.43+...+6^{97}.43\) 

\(Q=43.\left(6+...+6^{97}\right)⋮43\) 

\(\Rightarrow Q⋮43\) 

Chúc bạn học tốt!

Đặt \(K\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow K\left(2016\right)=K\left(2017\right)=K\left(2018\right)=K\left(2019\right)=0\)

Vì P(x) có hệ số của bậc cao nhất bằng 1 nên K(x) cũng có hệ số của bậc cao nhất bằng 1

Do đó K(x) có dạng \(\left(x-2016\right)\left(x-2017\right)\left(x-2018\right)\left(x-2019\right)\)

Lúc đó \(P\left(x\right)=\left(x-2016\right)\left(x-2017\right)\left(x-2018\right)\left(x-2019\right)\)

\(+\left(x+1\right)\Rightarrow P\left(2020\right)=2045⋮5\)

Vậy P(2020) là một số tự nhiên chia hết cho 5 (đpcm)

a) Ta có: \(10^{2017}-1=100...0\)(2017 chữ số 0) - 1 = 99...9 (2017 chữ số 9)

Do \(99...99⋮9\Rightarrow10^{2017}-1⋮9\). Mà số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.

b) Ta có: \(10^{2020}+8=100...0\)(2020 chữ số 0) +8

Ta thấy tổng của số trên là \(1+0+0+...+0+8=9⋮9\Rightarrow10^{2020}+8⋮9\) mà số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.

c) Ta có: \(10^{2016}+8=10...0\)(2016 chữ số 0) + 8= \(10...008\)

Tổng của số trên là 9 nên số trên chia hết cho 9.

Ta lại có 3 chữ số tận cùng của sô trên chia hết cho 8 => số trên chia hết cho 8

=> Số trên chia hết cho 8.9=72

Giả sử \(A=1+x+y⋮p\)

Ta có: 

\(p=q.B\)(với q là số nguyên tố)

\(\Rightarrow1+x+y⋮q\)

Mà ta lại có:

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^{2016}⋮p\\y^{2017}⋮p\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^{2016}⋮q\\y^{2017}⋮q\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x⋮q\\y⋮q\end{cases}}\)

\(\Rightarrow1+x+y⋮̸q\)

Mâu thuẫn giả thuyết. Vậy \(A⋮̸p\)