a: Xét ΔCAB có CD/CB=CE/CA

nên DE//AB và DE=AB/2

=>DF//AB và DF=AB

=>ABDF là hình bình hành

Xét tứ giác ABDE có DE//AB

nên ABDE là hình thang

b: Xét tứ giác ADCF có

E là trug điểm chung của AC và DF
góc ADC=90 độ

Do đo: ADCF là hình chữ nhật

c: Vì ABDF là hình bình hành

nên AD cắt BF tại trung điểm của mỗi đường

=>B,I,F thẳng hàng

a) Xét tứ giác \(ABDC\) có:
\(M\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
\(M\) là trung điểm của \(AD\) (do \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(BC\))
Suy ra \(ABDC\) là hình bình hành
b) Do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có \(AM\) là trung tuyến (gt)
Suy ra \(AM\) là đường cao, trung trực, phân giác
Suy ra \(AM\) vuông góc \(BM\) và \(CM\)
Xét tứ giác \(OAMB\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(OM\) và \(AB\) (gt)
Suy ra \(OAMB\) là hình bình hành
Suy ra \(OB\) // \(AM\); \(OA\) // \(MB\); \(OA = BM\); \(OB = AM\)
Mà \(AM \bot BM\) (cmt)
Suy ra: \(AM \bot OA\); \(OB \bot MB\)
Mà \(AM\) // \(OB\) (cmt)
Suy ra \(OB \bot OA\)
Xét \(\Delta AOB\) và \(\Delta MBO\) (các tam giác vuông) ta có:
\(\widehat {{\rm{AOB}}} = \widehat {{\rm{OBM}}} = 90^\circ \)
\(AO = MB\) (cmt)
\(OB = AM\) (cmt)
Suy ra \(\Delta AOB = \Delta MBO\) (c-g-c)
Suy ra \(OM = AB\)
c) \(OM = AB\) (cmt)
Mà \(EM = EO = \frac{1}{2}OM\); \(EA = EB = \frac{1}{2}AB\)
Suy ra \(EO = EA = EM = EB\) (1)
Xét \(\Delta ABC\) cân ta có: \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) và \(AB = AC\)
Mà \(EA = EB = \frac{1}{2}AB\); \(FA = FC = \frac{1}{2}AC\) (gt)
Suy ra \(AE = EB = FA = FM\) (2)
Xét \(\Delta BEM\) và \(\Delta CMF\) ta có:
\(BE = CF\) (cmt)
\(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) (cmt)
\(BM = CM\) (gt)
Suy ra \(\Delta BEM = \Delta CFM\) (c-g-c)
Suy ra \(EM = FM\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(AE = AF = FM = ME\)
Suy ra \(AEMF\) là hình thoi

a: Xét ΔABC có 

F là trung điểm của BC

D là trung điểm của AB

Do đó: FD là đường trung bình

=>FD//EC và FD=EC

hay FDEC là hình bình hành

a: Xét ΔABC  có 

D là tđiểm của AB

E là tđiểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình

=>DE//FC và DE=FC

hay DECF là hình bình hành

a) Để chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cạnh đối diện của nó bằng nhau và các góc trong của nó bằng 90 độ.

Ta có:

- AD là đường cao của tam giác ABC, nên AEDF là hình chữ nhật nếu và chỉ nếu AE = DF.

- AE là hình chiếu của D lên AB, nên AE = DD' (với D' là hình chiếu của D lên AB).

- DF là hình chiếu của D lên AC, nên DF = DD'' (với D'' là hình chiếu của D lên AC).

Vậy để chứng minh AEDF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh DD' = DD''. 

Ta có tam giác DDD' và tam giác DDD'' là hai tam giác vuông có cạnh chung DD'. Vì vậy, ta có:

- DD' = DD'' (cạnh huyền của hai tam giác vuông bằng nhau)

- Góc DDD' = Góc DDD'' = 90 độ (góc vuông)

Vậy tam giác DDD' và tam giác DDD'' là hai tam giác vuông cân có cạnh chung DD'. Do đó, ta có DD' = DD''.

Vậy AE = DF, tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của EF. Ta cần chứng minh A, I, D thẳng hàng.

Vì I là trung điểm của EF, nên AI là đường trung bình của tam giác AEF. Do đó, ta có AI song song với đường cao DD' của tam giác ABC.

Vì AEDF là hình chữ nhật, nên AE song song với DF. Khi đó, ta có AI song song với EF.

Vậy ta có AI song song với cả DD' và EF. Do đó, A, I, D thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được A, I, D thẳng hàng.

a: Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: ED//BC

Xét tứ giác BCDE có ED//BC

nên BCDE là hình thang

mà BD=CE

nên BCDE là hình thang cân

a: Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của BC

Do đó: DE là đường trung bình

=>DE//AC

hay DACE là hình thang

b: Xét tứ giác AFCE có 

K là trung điểm của AC
K là trung điểm của FE

Do đó: AFCE là hình bình hành

mà \(\widehat{AEC}=90^0\)

nên AFCE là hình chữ nhật