b: f(-2)=-1/2*(-2)^2=-1/2*4=-2

=>M(-2;-2)

f(1)=-1/2*1^2=-1/2

=>N(1;-1/2)

Gọi (d): y=ax+b là phương trình đường thẳng cần tìm

Theo đề, ta có hệ: -2a+b=-2 và a+b=-1/2

=>a=1/2 và b=-1

=>y=1/2x-1

c: (D)//y=1/2x-1 nên (D): y=1/2x+b

PTHĐGĐ là:

-1/2x^2-1/2x-b=0

=>x^2+x+2b=0

Δ=1^2-4*1*2b=-8b+1

Để (P) cắt (D) tại một điểm duy nhất thì -8b+1=0

=>b=1/8

a: 

b: Để (d)//(d') thì \(\left\{{}\begin{matrix}m+1=2\\6< >-2\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>m+1=2

=>m=1

c:

(d'): y=(m+1)x+6

=>(m+1)x-y+6=0

Khoảng cách từ O đến (d') là:

\(d\left(O;\left(d'\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m+1\right)+0\cdot\left(-1\right)+6\right|}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}}\)

Để \(d\left(O;\left(d'\right)\right)=3\sqrt{2}\) thì \(\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}}=3\sqrt{2}\)

=>\(\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}=\sqrt{2}\)

=>\(\left(m+1\right)^2+1=2\)

=>\(\left(m+1\right)^2=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+1=1\\m+1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)

b: Thay x=1 vào y=x+1, ta đc:

y=1+1=2

Thay x=1 và y=2 vào (d), ta được;

m+1-2=2

=>m+1=2

=>m=1

c: Tọa độ A là:

y=0 và (m+1)x-2=0

=>x=2/m+1 và y=0

=>OA=2/|m+1|

Tọa độ B là:

x=0 và y=-2

=>OB=2

Để góc OAB=45 độ thì OA=OB

=>|m+1|=1

=>m=0 hoặc m=-2

a) \(y=\left(1-m\right)x+m+2\left(d\right)\)

\(y=2x-1\left(d'\right)\)

\(\left(d\right)//\left(d'\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m=2\\m+2\ne-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m=-1\)

Vậy với \(m=-1\) để \(\left(d\right)//\left(d'\right)\)

b) \(\left(d\right)\cap\left(Ox\right)=A\left(x;0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)x+m+2=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{m-1}{m+2}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{m-1}{m+2};0\right)\)

\(\Rightarrow OA=\sqrt[]{\left(\dfrac{m-1}{m+2}\right)^2}=\left|\dfrac{m-1}{m+2}\right|\)

\(\left(d\right)\cap\left(Oy\right)=B\left(0;y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right).0+m+2=y\)

\(\Leftrightarrow y=m+2\)

\(\Rightarrow B\left(0;m+2\right)\)

\(\Rightarrow OB=\sqrt[]{\left(m+2\right)^2}=\left|m+2\right|\)

Để \(\Delta OAB\) là \(\Delta\) vuông cân khi và chỉ khi

\(\left|\dfrac{m-1}{m+2}\right|=\left|m+2\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m-1}{m+2}=m+2\\\dfrac{m-1}{m+2}=-\left(m+2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(m\ne-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(m+2\right)^2=m-1\\\left(m+2\right)^2=1-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+2m+4=m-1\\m^2+2m+4=1-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+m+5=0\left(1\right)\\m^2+3m+3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải \(pt\left(1\right):\Delta=1-20=-19< 0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

Giải \(pt\left(2\right):\Delta=9-12=-3< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) vô nghiệm

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn đề bài

a)

\(\left(P\right):y=x^2\)

Ta có bảng

Vậy đồ thị hàm số \(y=x^2\) là một parabol lần lượt đi qua các điểm 

\(\left(-2;4\right),\left(-1;1\right),\left(0;0\right),\left(1;1\right),\left(2;4\right)\)

Bạn tự vẽ nhé

\(\left(d\right):y=-2x+3\)

Cho \(y=0\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\Rightarrow A\left(\dfrac{3}{2};0\right)\in Ox\)

Cho \(x=0\Rightarrow y=3\Rightarrow B\left(0;3\right)\in Oy\)

Vẽ đường thẳng AB ta được đths \(y=-2x+3\)

Bạn tự bổ sung vào hình vẽ nhé

b) Xét PTHĐGĐ của \(\left(P\right),\left(d\right)\) là nghiệm của phương trình

\(x^2=-2x+3\\ \Leftrightarrow x^2+2x-3=0\)

Xét \(a+b+c=1+2-3=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Với `x=1 => y=x^2 = 1`

Với `x=2 => y=x^2 = 4`

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left(P\right),\left(d\right)\) là 2 điểm \(\left(1;1\right)\) và \(\left(2;4\right)\)

\(a,\Leftrightarrow1+m=-2\Leftrightarrow m=-3\\ \Leftrightarrow y=x-3\\ \text{Thay }x=2;y=5\Leftrightarrow5=2-3=-1\left(\text{vô lí}\right)\\ \Leftrightarrow E\notinđths\\ b,\text{PT giao Ox và Oy: }\left\{{}\begin{matrix}y=0\Rightarrow x=-m\Rightarrow E\left(-m;0\right)\Rightarrow OE=\left|m\right|\\x=0\Rightarrow y=m\Rightarrow F\left(0;m\right)\Rightarrow OF=\left|m\right|\end{matrix}\right.\)

Gọi H là chân đường cao từ O đến EF

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OE^2}+\dfrac{1}{OF^2}=\dfrac{1}{2m^2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}\)

\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\\m=-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)

Tọa độ giao điểm của y=-2x+3 và y=x-5 là:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3=x-5\\y=x-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{8}{3}\\y=\dfrac{8}{3}-5=-\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

Thay x=8/3 và y=-7/3 vào (d), ta được:

\(\dfrac{16}{3}m-\dfrac{8}{3}+2=-\dfrac{7}{3}\)

\(\Leftrightarrow m\cdot\dfrac{16}{3}=-\dfrac{5}{3}\)

hay m=-5/16