b: \(=\dfrac{2x^4-2x^3-2x^2-3x^3+3x^2+3x+x^2-x-1}{x^2-x-1}\)

\(=2x^2-3x+1\)

Đặt \(f\left(x\right)=2x^3-3x^2+x+a\)

Ta có: phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(x+2\) có dư là \(R=f\left(-2\right)\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right)=2.\left(-2\right)^3-3.\left(-2\right)^2+\left(-2\right)+a\)

\(f\left(-2\right)=2.\left(-8\right)-3.4-2+a\)

\(f\left(-2\right)=-16-12-2+a\)

\(f\left(-2\right)=-20+a\)

Để \(f\left(x\right)\) chia hết cho \(x+2\) thì  \(R=0\) hay \(f\left(-2\right)=0\)

\(\Rightarrow-20+a=0\Leftrightarrow a=20\)

Thực hiện phép chia:

2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho x + 2

⇔ số dư = a – 30 = 0

⇔ a = 30.

Cách 2: Phân tích 2x3 – 3x2 + x + a thành nhân tử có chứa x + 2.

2x3 – 3x2 + x + a

= 2x3 + 4x2 – 7x2 – 14x + 15x + 30 + a – 30

(Tách -3x2 = 4x2 – 7x2; x = -14x + 15x)

= 2x2(x + 2) – 7x(x + 2) + 15(x + 2) + a – 30

= (2x2 – 7x + 15)(x + 2) + a – 30

2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho x + 2 ⇔ a – 30 = 0 ⇔ a = 30.

Số dư của phép chia đa thức \(\text{f( x ) = 2x^3 - 3x^2 + x + a}\) cho \(\text{x + 2}\) là

\(\text{f ( -2 ) = 2(-2) ^3 - 3 (-2 )^2 + ( - 2 ) + a = -30 + a}\)

Để phép chia là chia hết thì số dư bằng \(\text{0}\)

Hay \(\text{-30 + a = 0}\) \(\Rightarrow\) \(\text{a = 30}\)

a = 30

1

Đa thức \(f\left(x\right)=2x^3-3x^2+x+a\)    chia hết cho đa thức  \(x+2\)

\(\Leftrightarrow\)\(f\left(-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(2.\left(-2\right)^3-3.\left(-2\right)^2+\left(-2\right)+a=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(-30+a=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(a=30\)

Vậy  \(a=30\)thì   \(2x^3-3x^2+x+a\)chia hết cho  \(x+2\)

p/s:  bn có thế lm theo cách truyền thống:  đặt tính chia ra rồi đặt dư = 0 và tìm a

      hoặc dùng hệ số bất định 

2x^3-3x^2+x+a  |  x+2

------------------|-------------

2x^3-3x^2        | 2x^2-7x+15

2x^2+4x^2

      -7x^2+x

      -7x^2-14x

            15x+a

            15x+30

\(2x^3-3x^2+x+a\div x+2\)

Để đa thức \(2x^3+3x^2+x+a⋮x+2\)

\(\Rightarrow15x+a=15x+30\)

\(\Rightarrow a-30=0\Rightarrow a=30\)

\(2x^3-3x^2+x+a=\left(x+2\right)\left(2x^2-7x+15\right)+\left(a-30\right)=Q\left(x\right).\left(x+2\right)\)

=> x=-2 thì \(2.\left(-2\right)^2-3\left(-2\right)^2+\left(-2\right)+a=Q\left(x\right).0=0\)

<=> -16 -12 -2 +a =0

<=> a -30 =0

=> a= 30.

\(a,\Leftrightarrow4x^3-2x^2+a=\left(2x-3\right).a\left(x\right)\)

Thay \(x=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow4.\dfrac{27}{8}-2.\dfrac{9}{4}+a=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{27}{2}-\dfrac{9}{2}+a=0\\ \Leftrightarrow a=-9\)

\(b,\Leftrightarrow3x^3+2x^2+x+a=\left(x+1\right).b\left(x\right)+2\)

Thay \(x=-1\Leftrightarrow-3+2-1+a=2\Leftrightarrow a=4\)