a) Với ∆ABC ⊥ tại A và M là trung điểm BC, ta có:

- Theo định lý Pythagoras, ta có: AB^2 + AC^2 = BC^2

- Thay giá trị vào, ta có: 6^2 + 8^2 = BC^2

- Tính toán, ta có: 36 + 64 = BC^2

- Tổng cộng, BC^2 = 100

- Vì BC là độ dài, nên BC = √100 = 10cm

- Vì M là trung điểm BC, nên AM = MC = 10/2 = 5cm

b) Để chứng minh ABEC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AB // EC và AB = EC.

- Vì M là trung điểm BC, nên AM = MC.

- Vì ∆ABC ⊥ tại A, nên góc BAC = 90 độ.

- Vì M là trung điểm BC, nên BM = MC.

- Vì BM = MC và góc BAC = 90 độ, nên ∆BAM ≅ ∆CAM theo góc-góc-góc.

- Từ đó, ta có AB = AC và góc BAM = góc CAM.

- Vì AB = AC và góc BAM = góc CAM, nên ∆ABM ≅ ∆ACM theo cạnh-góc-cạnh.

- Từ đó, ta có góc AMB = góc AMC và BM = MC.

- Vì góc AMB = góc AMC và BM = MC, nên ∆BME ≅ ∆CME theo góc-góc-góc.

- Từ đó, ta có góc BME = góc CME và BM = MC.

- Vì góc BME = góc CME và BM = MC, nên BM // EC.

- Vì BM // EC và AB = AC, nên AB // EC và AB = EC.

- Từ đó, ta có ABEC là hình chữ nhật.

c) Để chứng minh AH = IK và NO = 1/2 IK, ta cần chứng minh ∆AHN ≅ ∆IKO.

- Vì AH ⊥ BC và IK ⊥ AB, nên góc HAN = góc KIO = 90 độ.

- Vì AH ⊥ BC và HN ⊥ AN, nên góc HAN = góc HNA.

- Vì IK ⊥ AB và KO ⊥ AO, nên góc KIO = góc KOI.

- Vì góc HAN = góc HNA và góc KIO = góc KOI, nên ∆AHN ≅ ∆IKO theo góc-góc-góc.

- Từ đó, ta có AH = IK và NO = 1/2 IK.

d) Vì ∆AHN ≅ ∆IKO, nên góc INK = góc HNO.

- Vì NO = 1/2 IK, nên góc HNO = góc INK.

- Từ đó, ta có góc INK = góc HNO.

Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC
=> DM ⊥ AB và ME ⊥ AC Mà AB ⊥ AC
=> ADME là hình chữ nhật

Do MD\(\perp\)AB tại D =)\(\widehat{A\text{D}M}\)=90⁰  

Do ME\(\perp\)AC tại E =)\(\widehat{A\text{E}M}\)=90⁰

Do tam giác ABC vuông tại A =) \(\widehat{BAC}\)=90⁰

Xét tứ giác ADME có:

\(\widehat{A\text{D}M}\)=\(\widehat{A\text{E}M}\)=\(\widehat{BAC}\) ( vì cùng bằng 90⁰)

=) ADME là hình chữ nhật

Xét tam giác ABC có :

M là trung điểm của BC

MD // AC

=) D là trung điểm của AB

Xét tam giác ABC có :

M là trung điểm của BC

ME // AB

=) E là trung điểm của AC

Xét tam giác ABC có :

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

=) DE là đường trung bình của tam giác ABC

=) DE //BC =) DE //BM  (1)

Và DE=  \(\frac{BC}{2}\)=BM=CM (vì M là trung điểm của BC )   (2)

Từ (1) và (2) =) BDEM là hình bình hành

MÌnh chỉ cần phần d thôi

dễ có tam giác AHB vuông tại H có D là trung điểm của AB=> AD=BD và HD là đường trung tuyến 

áp dụng định lí: trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền => HD=DA=BD=\(\frac{1}{2}\)AB

=> AD=DH hay tam giác ADH cân tại D=> \(\widehat{DAH}\)=\(\widehat{DHA}\)(1)

tương tự dễ có tam giác AHC vuông tại H có E là trung điểm AC=>AE=EC và HE là đường trung tuyến

áp dụng định lí: trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền =>HE=AE=EC=\(\frac{1}{2}\)ÁC

=>AE=HE hay tam giác AEH cân tại E =>\(\widehat{E\text{A}H}\)=\(\widehat{EHA}\)(2)

cộng (1) và (2) theo vế ta được \(\widehat{DA\text{E}}\)=\(\widehat{DHE}\)

mà \(\widehat{DA\text{E}}\)=\(\widehat{BAC}\)=90\(^0\)=> \(\widehat{DHE}\)= 90⁰

a: AM=5cm

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)