Chứng minh rằng với các số thực dương \(a_1,a_2,a_3,...a_n\)thì:

\(\sqrt[n]{\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2}{n}}\)\(\ge\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}\)\(\ge\sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}\)\(\ge\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_n}}\)

với \(a_1,a_2,a_3,.....,a_n>0;a_1+a_2+a_3+....+a_n=k\)

Chứng minh\(\left(a_1+\frac{1}{a_2}\right)^2+\left(a_2+\frac{1}{a_3}\right)^2+...+\left(a_n+\frac{1}{a_1}\right)^2\ge\frac{1}{n}\left(\frac{k^2+n^2}{k}\right)^2\)

(Nghi binh 20/09)

Cho \(a_1,a_2,...,a_n>0;3\le n\in N.\)  Đặt:

\(A_1=\frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n+a_1}+\frac{a_n}{a_1+a_2}\)

\(A_2=\frac{a_1}{a_n+a_2}+\frac{a_2}{a_1+a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}+a_n}+\frac{a_n}{a_{n-1}+a_1}\)

Chứng minh rằng: \(Max\left\{A_1,A_2\right\}\ge\frac{n}{2}\)

Cho a₁ , a₂ , ... , a_n > 0 . Với mọi m,n ∈ N* , n ≥ 2 , chứng minh bất đẳng thức :

\(a_1^m+a_2^m+...a_n^m\ge\left(n-1\right)a_1a_2...a_n+\frac{a_1^{m-1}+a_2^{m-1}+...+a_n^{m-1}}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}\)

Cho: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n}{a_1}\) với \(a_1+a_2+...+a_n\)# 0. Tính:

1. A = \(\frac{a^2_1+a^2_2+...+a^2_n}{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}\)

2. B = \(\frac{a^9_1+a^9_2+...+a^9_n}{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^9}\)

Cho n số khác 0 là a₁, a₂, a₃,....,a_n thảo mãn \(a_2^2=a_1.a_3,a_3^2=a_2.a_4,...,a_{n-1}^2=a_{n-2}.a_n\). Chứng minh \(\frac{a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_{n-1}^3}{a_2^3+a_3^3+a_4^3+...+a_n^3}=\frac{a_1}{a_n}\)

Chứng minh rằng: \(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+...+\frac{a_n}{b_n}\ge n\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{b_1+b_2+b_3+...+b_n}\right)\)

Với \(a_1,a_2...,a_n;b_1,b_2...,b_n>0\)