Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R), ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC.
a)Chứng minh: Tứ giác ACKB nội tiếp.
b)Kẻ đường kính AA' của (O). C/m AA'⊥⊥EF.
c)Gọi I là trung điểm BC. C/m ba điểm H, I, A' thẳng hàng.
d)Gọi G là trọng tâm tâm tam giác ABC. C/m SAHG=2SAOG
chứng minh ghi rõ nha
a: góc HBC+góc HCB=90 độ-góc ACB+90 độ-góc ABC=góc BAC
=>góc BHC+góc BAC=180 độ
H đối xứng K qua BC
=>BH=BK và CH=CK
Xét ΔBHC và ΔBKC có
BH=BK
CH=CK
BC chung
=>ΔBHC=ΔBKC
=>góc BKC=góc BHC
=>góc BKC+góc BAC=180 độ
=>ABKC nội tiếp
b: Gọi Ax là tiếp tuyến của (O) tại A
=>góc xAC=góc ABC=góc AEF
=>EF//Ax
=>EF vuông góc OA
c: Xét tứ giác BHCA' có
BH//CA'
BA'//CH
=>BHCA' là hbh
=>H,I,A' thẳng hàng
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R), ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC.
a)Chứng minh: Tứ giác ACKB nội tiếp.
b)Kẻ đường kính AA' của (O). C/m AA'\(\perp\)EF.
c)Gọi I là trung điểm BC. C/m ba điểm H, I, A' thẳng hàng.
d)Gọi G là trọng tâm tâm tam giác ABC. C/m \(S_{AHG}=2S_{AOG}\)
a) Dễ thấy A, H, K thẳng hàng.
Ta có \(\widehat{KCB}=\widehat{HCB}=90^o-\widehat{ABC}=\widehat{KAB}\).
Suy ra tứ giác ACKB nội tiếp.
b) \(\widehat{ABD}=\widehat{AA'C};\widehat{ADB}=\widehat{ACA'}=90^o\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta AA'C\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{A'AC}\)
\(\Rightarrow\widehat{AA'C}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-\widehat{AEF}\Rightarrow AA'\perp EF\)
c) Ta có BH // A'C (do cùng vuông góc với AC), CH // A'B (do cùng vuông góc với AB) nên tứ giác BHCA' là hình bình hành. Suy ra H, I, A' thẳng hàng.
d) Do OI là đường trung bình của tam giác A'AH nên OI // AH,\(\dfrac{OI}{AH}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{IG}{AG}\Rightarrow\) H, G, O thẳng hàng và \(\dfrac{OG}{HG}=\dfrac{1}{2}\). Từ đó \(S_{AHG}=2S_{AOG}\) (đpcm)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. K là điểm đối xứng của H qua BC a) Chứng minh tứ giác ACKB nội tiếp đường tròn b) vẽ đường kính AM, I là trung điểm BC chứng minh H,I,M thẳng hàng
a:
H đối xứng K qua BC
=>BH=BK CH=CK
Xét ΔBHC và ΔBKC có
BH=BK
HC=KC
BC chung
=>ΔBHC=ΔBKC
=>góc BHC=góc BKC
góc BHC=180 độ-góc HBC-góc HCB
=90 độ-góc HBC+90 độ-góc HCB
=góc ABC+góc ACB
=180 độ-góc BAC
=>góc BAC+góc BHC=180 độ
=>góc BAC+góc BKC=180 độ
=>ABKC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABM nội tiếp
AM là đường kính
=>ΔABM vuông tại B
=>BM//CH
Xét (O) có
ΔACM nội tiếp
AM là đường kinh
=>ΔACM vuông tại C
=>CM//BH
mà BM//CH
nên BHCM là hình bình hành
=>CB căt HM tại trung điểm của mỗi đường
=>H,I,M thẳng hàng
Bài 5. Cho ∆ABC nhọn (AB <AC) nội tiếp (O), hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Tia AH cắt BC tại D.
a)Chứng minh : các tứ giác BCEF, AEHF nội tiếp.
b)Vẽ đường kính AK của (O).Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh : H và K đối xứng nhau qua M.
Giup minh voi a! Minh cam onn
a: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BCEF nội tiếp
góc AEH+góc AFH=180 dộ
=>AEHF nội tiếp
b: góc ABK=1/2*sđ cung AK=90 độ
=>BK//CH
góc ACK=1/2*sđ cung AK=90 độ
=>CK//BH
=>BHCK là hình bình hành
=>H đối xứng K qua M
Cho tam giác ABC (AB = AC) nội tiếp trong đường tròn tâm (O). Các đường cao AG, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
b) Chứng minh AF.AC = AH.AG
c, chứng minh GE là tiếp tuyến đường tròn (I)
d,chứng minh GA là phân giác của góc EGF
e, gọi K là điểm đối xứng với H qua BC . chứng minh K thuộc đường tròn
cho tam giác abc nhọn .vẽ các đường cao bd ce gọi h là trực tâm của tam giác abc .a)chưng minh tứ giác bedc nội tiếp. b) gọi m là điểm đối xứng h qua bc chứng minh tứ giác abmc nội tiếp. c) gọi n là điểm đối xứng của h qua trung điểm I của bc chứng minh abnc nội tiếp
a: góc BEC=góc BDC=90 độ
=>BEDC nội tiếp
b: góc HBC+góc HCB=90 độ-góc ABC+90 độ-góc ACB
=góc BAC
=>góc BHC=180 độ-góc BAC
=>góc BHC+góc BAC=180 độ
H đối xứng M qua BC
=>BH=BM và CH=CM
Xét ΔBHC và ΔBMC có
BH=BM
HC=MC
BC chung
=>ΔBHC=ΔBMC
=>góc BMC=góc BHC
=>góc BMC+góc BAC=180 độ
=>ABMC nội tiếp
c: Xét tứ giác BHCN có
BC cắt HN tại trung điểm của mỗi đường
=>BHCN là hìnhbình hành
=>góc BHC=góc BNC
=>góc BNC+góc bAC=180 độ
=>ABNC nội tiếp
Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AM = 2R
a, Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành
b, Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn
c, Gọi E là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
d, Giả sử AB = R 3 . Tính diện tích phần chung của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN
a, BH ^ AC và CM ^ AC Þ BH//CM
Tương tự => CH//BM
=> BHCM là hình bình hành
b, Chứng minh BNHC là hình bình hành
=> NH//BC
=> AH ^ NH => A H M ^ = 90 0
Mà A B N ^ = 90 0 => Tứ giác AHBN nội tiếp
c, Tương tự ý b, ta có: BHEC là hình bình hành. Vậy NH và HE//BC => N, H, E thẳng hàng
d, A B N ^ = 90 0 => AN là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN
AN = AM = 2R, AB = R 3 => A m B ⏜ = 120 0
S A O B = 1 2 S A B M = R 2 3 4
S A m B ⏜ = S a t A O B - S A O B = R 2 12 4 π - 3 3
=> S cần tìm = 2 S A m B ⏜ = R 2 6 4 π - 3 3
cho tam giác ABC nhọn có AB<AC nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R . gọi H là giao điểm của 3 đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC . kẻ đường kính AK của đường tròn (O) , AD cắt (O) tại điểm N
1. chứng minh AEDB , AEHF là tứ giác nội tiếp và AB.AC=2R.AD
2. chứng minh HK đi qua tring điểm M của BC
3. gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF là r . chứng minh OM^2=R^2-r^2
4. chứng minh OC vuông góc với DE và N đối xứng với H qua đường thẳng BC
