a) Khi m = 2 thì: \(\hept{\begin{cases}y=x^2\\y=2x+3\end{cases}}\)

Hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm của PT: \(x^2=2x+3\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\Rightarrow y=1\\x=3\Rightarrow y=9\end{cases}}\)

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là \(\left(-1;1\right)\) và \(\left(3;9\right)\)

b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của PT:

\(x^2=mx+3\Leftrightarrow x^2-mx-3=0\)

Vì \(ac=1\cdot\left(-3\right)< 0\) => PT luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-3\end{cases}}\)

Mà \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{-m}{3}=\frac{3}{2}\Rightarrow m=-\frac{9}{2}\)

Vậy \(m=-\frac{9}{2}\)

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm chung của (d) và (P) :

\(x^2=\left(2m-1\right)x-m^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-2=0\left(1\right)\)

Thay m=2 vào pt (1) ta được:

\(x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\Rightarrow y=1\\x=2\Rightarrow y=4\end{cases}}\)

Tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m=2 là \(A\left(1;1\right);B\left(2;4\right)\)

b) \(\Delta_{\left(1\right)}=\left(2m-1\right)^2-4m^2+8\)

\(=4m^2-4m+1-4m^2+8\)

\(=9-4m\)

Để pt (1) có 2 n ghiệm pb \(\Leftrightarrow9-4m>0\Leftrightarrow m< \frac{9}{4}\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-1\\x_1.x_2=m^2-2\left(1\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-1\\x_1-3x_2=7\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x_1+3x_2=6m-3\\x_1-3x_2=7\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{3m+2}{2}\\x_2=\frac{m-4}{2}\end{cases}\left(3\right)}\)

Thay (3) vào (2) ta được:

\(\frac{3m+2}{2}.\frac{m-4}{2}=m^2-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{3m^2-10m-8}{4}=m^2-2\)

\(\Rightarrow3m^2-10m-8=4m^2-8\)

\(\Leftrightarrow m^2+10m=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m=-10\end{cases}\left(tm\right)}\)

Vậy ...

PT giao Ox, Oy là: 

\(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2m+1}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{2}{2m+1};0\right)\Leftrightarrow OA=\dfrac{2}{\left|2m+1\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=-2\Leftrightarrow B\left(0;-2\right)\Leftrightarrow OB=2\)

\(a,\) Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=\sqrt{2}\)

Ap dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow4m^2+4m+1=1\\ \Leftrightarrow4m\left(m+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-1\end{matrix}\right.\)

\(b,S_{AOB}=\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow OB\cdot OA=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2}{\left|2m+1\right|}\cdot2=1\Leftrightarrow\left|2m+1\right|=4\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m+1=4\\2m+1=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\\m=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(\frac{-x+m}{x+2}=\frac{1-2x}{2}\) với x khác -2

\(\frac{-x+m}{x+2}=\frac{1-2x}{2}\Leftrightarrow\frac{-2x+2m}{2\left(x+2\right)}=\frac{\left(1-2x\right)\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)}\Leftrightarrow-2x+2m=\left(1-2x\right)\left(x+2\right)\Leftrightarrow-2x+2m=x-2x^2+2-4x\Leftrightarrow2x^2+x+2m-2=0\)

để đt d cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm pt thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt khác -2

làm tương tự như câu dưới......

a: F(-1)=1/2(-1)^2=1/2

=>A(-1;1/2)

f(2)=1/2*2^2=2

=>B(2;2)

Theo đề, ta có hệ:

-m+n=1/2 và 2m+n=2

=>m=1/2 và n=1

b: O(0;0); A(-1;0,5); B(2;2)

\(OA=\sqrt{\left(-1-0\right)^2+0,5^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

\(OB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)

\(AB=\sqrt{\left(2+1\right)^2+\left(2-0,5\right)^2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{5}\)

\(cosO=\dfrac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}=\dfrac{-1}{\sqrt{10}}\)

=>\(sinO=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\)

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3}{2}\)

=>\(OH=\dfrac{2\cdot\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)