\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{4c+a}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4abc}{ac+2bc}+\frac{9abc}{4bc+ab}+\frac{4abc}{ab+ac}\)

\(\ge\frac{\left(2\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+2\sqrt{abc}\right)^2}{ac+2bc+4bc+ab+ab+ac}=\frac{49abc}{2ac+6bc+2ab}=7\)

Xin bổ sung cách sau, bn có thể tham khảo thêm

:\(GT\Leftrightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{c}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{3}{a}=z\end{cases}}\) Ta có: \(2\left(x+y+z\right)=7\)

Suy ra \(C=\frac{4}{4y+\frac{2z}{3}}+\frac{9}{x+\frac{4z}{3}}+\frac{4}{x+y}\ge\frac{\left(2+3+2\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=7\) (Bdt Cauchy-Schwarz)

Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=c=1\end{cases}}\)

Ta có \(2ab+6bc+2ca=7abc\Leftrightarrow\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\)

Ta có:

\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{2^2}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{3^2}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}+\frac{2^2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\ge\frac{\left(2+3+2\right)^2}{\frac{6}{b}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{49}{7}=7\)

Vậy \(Min_C=7\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2b=2c\\\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=c=1\end{cases}}}\)

2ab + 6bc + 2ac = 7abc => \(\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)

đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\) => 6x + 2y + 2z = 7; x; y; z > 0

Khi đó, C = \(\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}+\frac{4}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)

AD BĐT Cauchy ta có:

 \(\left(\frac{4}{2x+y}+\left(2x+y\right)\right)+\left(\frac{9}{4x+z}+\left(4x+z\right)\right)+\left(\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right)\)

\(\ge2\sqrt{4}+2.\sqrt{9}+2.\sqrt{4}=14\)

=>  \(\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)+ 7  > 14 =>  C > 7 

Dấu "=" xảy ra <=> a = 2; b = 1; c = 1

Vậy Min C = 7

2ab+6bc+2ac=7abc =>

Đặt => 6x + 2y + 2z = 7; x; y; z > 0

Khi đó C=

  TA CÓ:

 Dấu “=” xảy raóa=2;b=1;c=1

   Vậy c=7

Xong rồi đó bạn hứa cho mik nha

\(P=\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}+\frac{4}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)

Theo Cauchy-Schwarz, ta có:

\(P\) ≥ \(\frac{49}{\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{49}{\frac{2ab+6bc+2ac}{abc}}=7\)

Do đó \(MinP:=7.\) Đẳng thức xảy ra khi

{\(\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}=\frac{3}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}=\frac{2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)

\(2ab+6bc+2ac=7abc\)

Dễ thấy rằng \(\left(a,b,c\right)=\left(2,1,1\right)\) thỏa hệ trên.

aaaaaaaaaaaaa

Ta có:

\(2ab+6bc+2ca=7abc\)

Chia cả hai vế của phương trình trên cho  \(abc>0\), ta được:

\(\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\)

Đặt  \(x=\frac{2}{a};\)  \(y=\frac{1}{b};\)  và  \(z=\frac{1}{c}\)  \(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in Z_+\\3x+2y+2z=7\end{cases}}\)

Khi đó, ta biểu diễn biểu thức  \(C\) dưới dạng ba biến  \(x,y,z\)  như sau:

\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{x+y}+\frac{9}{z+2x}+\frac{4}{y+z}\)

nên  \(C=\left[\frac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right]+\left[\frac{9}{z+2x}+\left(z+2x\right)\right]+\left[\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right]-\left(3x+2y+2z\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\) cho từng bộ số trong ngoặc luôn dương, ta có:

\(C\ge4+6+4-7=7\) (do  \(3x+2y+2z=7\) )

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}\frac{4}{x+y}=x+y\\\frac{9}{z+2x}=z+2x\\\frac{4}{y+z}=y+z\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=1\)

Do đó,  \(a=2;\)  và  \(y=z=1\)

Vậy,  \(GTNN\)  của  \(C\)  đạt được là  \(7\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)

Ta có:

\(2ab+6bc+2ca=7abc\)

Chia cả hai vế của phương trình trên cho  \(abc>0\), ta được:

\(\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\)

Đặt  \(x=\frac{2}{a};\)  \(y=\frac{1}{b};\)  và  \(z=\frac{1}{c}\)  \(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in Z_+\\3x+2y+2z=7\end{cases}}\)

Khi đó, ta biểu diễn biểu thức  \(C\) dưới dạng ba biến  \(x,y,z\)  như sau:

\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{x+y}+\frac{9}{z+2x}+\frac{4}{y+z}\)

nên  \(C=\left[\frac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right]+\left[\frac{9}{z+2x}+\left(z+2x\right)\right]+\left[\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right]-\left(3x+2y+2z\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\) cho từng bộ số trong ngoặc luôn dương, ta có:

\(C\ge4+6+4-7=7\) (do  \(3x+2y+2z=7\) )

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}\frac{4}{x+y}=x+y\\\frac{9}{z+2x}=z+2x\\\frac{4}{y+z}=y+z\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=1\)

Do đó,  \(a=2;\)  và  \(y=z=1\)

Vậy,  \(GTNN\)  của  \(C\)  đạt được là  \(7\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)

\(P=\dfrac{4ab}{a+2b}+\dfrac{9ca}{a+4c}+\dfrac{4bc}{b+c}\)

\(P=\dfrac{4abc}{ac+2bc}+\dfrac{9abc}{ab+4bc}+\dfrac{4abc}{ab+ac}\)

\(P=abc\left(\dfrac{4}{ac+2bc}+\dfrac{9}{ab+4bc}+\dfrac{4}{ab+ac}\right)\)

\(P\ge abc.\dfrac{\left(2+3+2\right)^2}{ac+2bc+ab+4bc+ab+ac}\)

\(P\ge abc.\dfrac{49}{2ab+6bc+2ca}\)

\(P\ge abc.\dfrac{49}{7abc}\) (vì \(2ab+6bc+2ca=7abc\))

\(P\ge7\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{ac+2bc}=\dfrac{3}{ab+4bc}=\dfrac{2}{ab+ac}\\2ab+6bc+2ca=7abc\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{2}{ac+2bc}=\dfrac{2}{ab+ac}\) \(\Leftrightarrow2b=a\)

Có \(\dfrac{3}{ab+4bc}=\dfrac{2}{ab+ac}\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2b^2+4bc}=\dfrac{2}{2b^2+2bc}\) 

\(\Leftrightarrow3b^2+3bc=2b^2+4bc\)

\(\Leftrightarrow b^2=bc\Leftrightarrow b=c\)

\(\Rightarrow a=2b=2c\)

Lại có \(2ab+6bc+2ca=7abc\) \(\Rightarrow4b^2+6b^2+4b^2=14b^3\)

\(\Leftrightarrow b=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)=\left(2,1,1\right)\)

Vậy \(min_P=7\)
 

Áp dụng Bat đẳng thức C.B.S dạng Angel

Dấu bằng xảy ra khi a=2;b=1;c=1

1 . 

Từ gt : \(2ab+6bc+2ac=7abc\)và \(a,b,c>0\)

Chia cả hai vế cho abc > 0 

\(\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)

Đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}\)

Khi đó : \(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}\)

\(=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)

\(\Rightarrow C=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z\)\(-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)\)

\(=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2\)\(+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17\)

Khi \(x=\frac{1}{2},y=z=1\)thì \(C=17\)

Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1

2 . 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :\(1+b^2\ge2b\)nên 

\(\frac{a+1}{1+b^2}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)

\(\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}\ge a+1-\frac{ab+b}{2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\left(2\right)\)

\(\frac{c+1}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\left(3\right)\)

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: 

\(\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\left(^∗\right)\)

Mặt khác : \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge0\)

Nên \(\left(^∗\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Bài 1: Theo đề : \(2ab+6bc+2ac=7abc\) \(;a,b,c>0\)

Chia cả 2 vế cho \(abc>0\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)

Đặt: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}\)

Khi đó: \(M=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)

\(\Rightarrow M=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)\)

\(=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17\)

Khi: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=z=1\end{cases}}\Rightarrow M=17\)

\(Min_M=17\Leftrightarrow a=2;b=1;c=1\)

ミ★๖ۣۜBăηɠ ๖ۣۜBăηɠ ★彡 chém bài khó nhất rồi nên em xin mạn phép chém bài dễ ạ.

2/\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2}{x\left(x+y+z\right)+yz}=\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(\ge\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\frac{\left(2x+y+z\right)^2}{4}}=\Sigma_{cyc}\frac{4\left(y+z\right)}{2x+y+z}=\Sigma_{cyc}\frac{2\left(y+z-2x\right)}{2x+y+z}+6\)

\(=\Sigma_{cyc}\left(\frac{2\left(x+y+z\right)\left(y+z-2x\right)}{2x+y+z}-\frac{3}{2}\left(y+z-2x\right)\right)+6\)

\(=\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z-2x\right)^2}{2\left(2x+y+z\right)}+6\ge6\)

Cách 2 cho bài 2(suy ra từ cách 1). 

Với mọi x, y, z thỏa mãn \(x+y+z=1\) thì:

\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{\left(y-z\right)^2\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(2x+y+z\right)}+\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z-2x\right)^2}{2\left(2x+y+z\right)}\ge0\)