Xét \(\Delta'=1-\left(-m^2+2m\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)\(\ge0;\forall m\)

=>Pt luôn có hai nghiệm 

Theo viet có: \(x_1+x_2=2\)

Do \(x_1^2\) là một nghiệm của pt \(\Rightarrow x_1^2-2x_1-m^2+2m=0\)\(\Leftrightarrow x_1^2=2x_1+m^2-2m\)

\(x_1^2+2x_2=3m\)

\(\Leftrightarrow2x_1+2x_2+m^2-2m=3m\)

\(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)+m^2-5m=0\)

\(\Leftrightarrow4+m^2-5m=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=1\end{matrix}\right.\)

Vậy...

a) Ta có :  \(\Delta"=\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\forall m\)

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Hệ thức Viete : 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\dfrac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}\)

\(=\dfrac{-24}{\left(2m\right)^2-8.\left(m-2\right)}=\dfrac{-6}{m^2-2m+4+=}=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\)

Do (m - 1)² + 3 \(\ge3\forall m\)

nên \(\dfrac{6}{\left(m-1\right)^2+3}\le2\Leftrightarrow M=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\ge-2\)

Vậy M_min = -2 <=> m = 1

Δ=(-2)^2-4(m-3)

=4-4m+12=16-4m

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì 16-4m>0 và m-3>0

=>m>3 và m<4

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2

=2^2-2(m-3)=4-2m+6=10-2m

=>x1^2=10-2m-x2^2

x1^2+12=2x2-x1x2

=>10-2m-x2^2+12=2x2-m+3

=>\(-x_2^2+22-2m-2x_2+m-3=0\)

=>\(-x_2^2-2x_2-m+19=0\)

=>\(x_2^2+2x_2+m-19=0\)(1)

Để (1) có nghiệmthì 2^2-4(m-19)>0

=>4-4m+76>0

=>80-4m>0

=>m<20

=>3<m<4

max P = \(\frac{1}{8}\)=> m=8