1.

Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$A=|x+2|+|x+3|=|x+2|+|-x-3|\geq |x+2-x-3|=1$

Vậy GTNN của $A$ là $1$. Giá trị này đạt tại $(x+2)(-x-3)\geq 0$

$\Leftrightarrow (x+2)(x+3)\leq 0$

$\Leftrightarrow -3\leq x\leq -2$

2. ĐKXĐ: $x\geq 1$

\(B=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{(x-1)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}\)

\(=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|\)

\(=|\sqrt{x-1}+1|+|1-\sqrt{x-1}|\geq |\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}|=2\)

Vậy gtnn của $B$ là $2$. Giá trị này đạt tại $(\sqrt{x-1}+1)(1-\sqrt{x-1})\geq 0$

$\Leftrightarrow 1-\sqrt{x-1}\geq 0$

$\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2$

3.

$C\sqrt{2}=\sqrt{4x+2\sqrt{4x-1}}+\sqrt{4x+2\sqrt{4x-1}}$

$=2\sqrt{(4x-1)+2\sqrt{4x-1}+1}=2\sqrt{(\sqrt{4x-1}+1)^2}$
$=2|\sqrt{4x-1}+1|$

Vì $\sqrt{4x-1}\geq 0$ nên $|\sqrt{4x-1}+1|\geq 1$

$\Rightarrow C\sqrt{2}\geq 2$

$\Rightarrow C\geq \sqrt{2}$

Vậy $C_{\min}=\sqrt{2}$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{1}{4}$

a,\(A=2\sqrt{x^2+x+\dfrac{1}{2}}=2\sqrt{x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=2\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}}\)

\(=\sqrt{4\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+1}\ge1\) dấu"=" xảy ra<=>x=-1/2

\(B=\sqrt{2\left(x^2-2x+\dfrac{5}{2}\right)}=\sqrt{2\left[x^2-2x+1+\dfrac{3}{2}\right]}\)

\(=\sqrt{2\left(x-1\right)^2+3}\ge\sqrt{3}\) dấu"=" xảy ra<=>x=1

\(C=\dfrac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\ge\dfrac{-2}{-\sqrt{2}}=\sqrt{2}\) dấu"=" xảy ra<=>x=1

\(D=x-2\sqrt{x+2}\ge-2\) dấu"=" xảy ra<=>x=-2

d)D=\(x-2\sqrt{x+2}=\left(x+2\right)-2\sqrt{x+2}+1-3\)

    \(=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2-3\ge-3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}=1\Leftrightarrow x+2=1\Leftrightarrow x=-1\)

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)-2\sqrt{x-3}+1+2}=\sqrt{\left[\left(x-3\right)-1\right]^2+2}\)

                                                                                    \(=\sqrt{\left(x-4\right)^2+2}\ge\sqrt{2}\)

             GTNN CỦA A=CĂN 2      TẠI X=4

\(B=2.\sqrt{x^2+3x+\frac{9}{4}+\frac{11}{4}}=2.\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}}=\sqrt{4.\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+11}\ge\sqrt{11}\)

GTNN CỦA B=CĂN 11 TẠI X=-3/2

bài 2

\(A=\sqrt{-2x^2+7}\le\sqrt{7}\)

GTLN CỦA A=CĂN 7 TẠI X=0

\(B=1+\sqrt{-\left(x^2-6x+7\right)}=1+\sqrt{-\left(x-3\right)^2+2}\)

để B lớn nhất thì \(\sqrt{-\left(x-3\right)^2+2}\) lớn nhất 

mà\(\sqrt{-\left(x-3\right)^2+2}\le2\)

=> GTLN CỦA B=1+2 =3 TẠI X=3

\(C=7+\sqrt{-4\left(x^2-x\right)}=7+\sqrt{-4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1}\le7+1=8\)

GTLN là 8 tại x=1/2

Trong căn thứ nhất là 4x ms đúng chứ nhỉ

Nếu đề bài là 4x thì cách giải nè :

2x² + 4x + 3 = 2.(x² + 2x +1) + 1 = 2.(x+1)² + 1 >= 1 ( >= là dấu lớn hơn hoặc bằng )  khi đó căn thứ nhất >= căn 1 =1

x² + 2x + 3 = (x+1)² + 2 >=2  khi đó căn thứ 2 >= căn 2

Suy ra y>= 1 + căn 2

Dấu = xảy ra khi x+1=0 khi x=-1

À mình bấm nhầm 4x mới đúng. Cảm ơn bạn

a, ĐKXĐ : \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

 PT <=> 2x - 1 = 5

<=> x = 3 ( TM )

Vậy ...

b, ĐKXĐ : \(x\ge5\)

PT <=> x - 5 = 9

<=> x = 14 ( TM )

Vậy ...

c, PT <=> \(\left|2x+1\right|=6\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+1=6\\2x+1=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\x=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

d, PT<=> \(\left|x-3\right|=3-x\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=x-3\\x-3=3-x\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có vô số nghiệm với mọi x \(x\le3\)

e, ĐKXĐ : \(-\dfrac{5}{2}\le x\le1\)

PT <=> 2x + 5 = 1 - x

<=> 3x = -4

<=> \(x=-\dfrac{4}{3}\left(TM\right)\)

Vậy ...

f ĐKXĐ : \(\left[{}\begin{matrix}x\le0\\1\le x\le3\end{matrix}\right.\)

PT <=> \(x^2-x=3-x\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3}\) ( TM )

Vậy ...

a) \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{5}\)          (x \(\ge\dfrac{1}{2}\))

<=> 2x - 1 = 5

<=> x = 3 (tmđk)

Vậy S = \(\left\{3\right\}\)

b) \(\sqrt{x-5}=3\)           (x\(\ge5\))

<=> x - 5 = 9

<=> x = 4 (ko tmđk)

Vậy x \(\in\varnothing\)

c) \(\sqrt{4x^2+4x+1}=6\)          (x \(\in R\))

<=> \(\sqrt{\left(2x+1\right)^2}=6\)

<=> |2x + 1| = 6

<=> \(\left[{}\begin{matrix}\text{2x + 1=6}\\\text{2x + 1}=-6\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\x=\dfrac{-7}{2}\end{matrix}\right.\)(tmđk)

Vậy S = \(\left\{\dfrac{5}{2};\dfrac{-7}{2}\right\}\)

a) Ta có: \(F=\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}\ge\sqrt{1}=1\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\)

Vậy Min(F) = 1 khi x=2

b) \(D=\sqrt{2x^2-4x+10}=\sqrt{2\left(x-1\right)^2+8}\ge\sqrt{8}=2\sqrt{2}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x=1\)

Vậy \(Min\left(D\right)=2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=1\)

c) \(G=\sqrt{2x^2-6x+5}=\sqrt{2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{2}}\ge\sqrt{\frac{1}{2}}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)

Vậy \(Min\left(G\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)