ta có tọa độ B là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\2x+3y=1\end{cases}\Leftrightarrow B\left(2;-1\right)}\)

Từ I kẻ d' qua I và song song với BC khi đó \(d':x=-7\)

Khi đó d' cắt AC tại điểm K có tọa độ là \(\hept{\begin{cases}x=-7\\2x+3y=1\end{cases}\Leftrightarrow}K\left(-7;5\right)\), gọi H là trung điểm của BC

khi đó điểm A thuộc trung trực của KI là đường thẳng AH: \(y=1\)Do đó tọa độ A là : \(A\left(-1;1\right)\)

Do đó đường cao từ C có VTPT \(IA=\left(6,4\right)\)nên đường cao từ C là : \(3x+2y-4=0\)

Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH có phương trình: \(3x-y-13=0\)

H có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-7=0\\3x-y-13=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{23}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow H=\left(\dfrac{23}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

Gọi \(B=\left(m;3m-13\right)\)

Ta có: \(MB=MH\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2+\left(3m-15\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=\dfrac{23}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}B=\left(5;2\right)\\B=\left(\dfrac{23}{5};\dfrac{4}{5}\right)\left(\text{loại do }B\equiv H\right)\end{matrix}\right.\)

\(B=\left(5;2\right)\Rightarrow A=\left(1;2\right)\)

Đường thẳng AC có phương trình \(x+y-3=0\)

Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-2=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(3;1\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_G\\y_A+y_B+y_C=3y_G\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) (1)

B thuộc AB nên: \(x_B-y_B=2\Rightarrow x_B=y_B+2\)

C thuộc AC nên: \(x_C+2y_C-5=0\Rightarrow x_C=-2y_C+5\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B+2-2y_C+5=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B=3\Rightarrow x_B=5\\y_C=2\Rightarrow x_C=1\end{matrix}\right.\)

Phương trình BC: \(\dfrac{x-5}{1-5}=\dfrac{y-3}{2-3}\Leftrightarrow x-4y+7=0\)

a. 

\(\overrightarrow{BC}=\left(-2;-4\right)=-2\left(1;2\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (1;2) là 1 vtcp

Phương trình BC: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+t\\y=4+2t\end{matrix}\right.\)

b.

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\Rightarrow R^2=AB^2=\left(-2\right)^2+1^2=5\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=5\)

c.

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-2.\left(-2\right)+1.\left(-4\right)=0\Rightarrow AB\perp BC\)

\(\Rightarrow H\) trùng B hay tọa độ H là: \(H\left(-1;4\right)\)

Chọn A

Phân tích.

     - Ta thấy A thuộc đường phân giác trong góc A:x-3y+5=0 , giờ chỉ cần viết được phương trình AC là tìm được A.

     - Trên AC đã có một điểm N, cần tìm thêm một điểm nữa. Chú ý khi lấy M’ đối xứng với M qua phân giác trong ta có M’ thuộc cạnh AC.

     - Tìm M’ viết được phương trình AC từ đó suy ra A. Có A, M viết được phương trình AB.

     - Gọi B, C và tham số hóa dựa vào B thuộc AB, C thuộc AC. Áp dụng công thức trọng tâm sẽ tìm ra được tọa độ B, C.

Đáp án A

Phân tích.

- Ta thấy A thuộc đường phân giác trong góc A: x - 3 y + 5 = 0 giờ chỉ cần viết được phương trình AC là tìm được A.

- Trên AC đã có một điểm N, cần tìm thêm một điểm nữa. Chú ý khi lấy M’ đối xứng với M qua phân giác trong ta có M’ thuộc cạnh AC.

- Tìm M’ viết được phương trình AC từ đó suy ra A. Có A, M viết được phương trình AB.

- Gọi B, C và tham số hóa dựa vào B thuộc AB, C thuộc AC. Áp dụng công thức trọng tâm sẽ tìm ra được tọa độ B, C.

Hướng dẫn giải.

Gọi M ' ∈   A C  là điểm đối xứng của M qua phân giác trong góc A, gọi I là giao điểm của MM' với phân giác trong góc A → I là trung điểm MM’.

Phương trình MM’ là:  3 x + y - 11 = 0

Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:

M’ đối xứng với M qua  

Đường thẳng AC qua N và M’ nên có phương trình:

Tọa độ A là nghiệm của hệ: 

Đường thẳng AB đi qua A, M nên có phương trình:

x + y - 3 = 0

Gọi 

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là:

AB vuông góc CH nên nhận \(\left(1;1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(1\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\)

B là giao điểm BN và AB nên tọa độ thỏa mãn: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y+5=0\\x+y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-8;11\right)\)

Gọi D là điểm đối xứng A qua BN \(\Rightarrow D\in BC\)

Phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc BN (nên nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt) có dạng:

\(1\left(x-1\right)-2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-2y+3=0\)

Gọi E là giao điểm d và BN \(\Rightarrow E\) là trung điểm AD

Tọa độ E là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y+5=0\\x-2y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E\left(-\dfrac{13}{5};\dfrac{1}{5}\right)\)

\(\Rightarrow D\left(-\dfrac{31}{5};-\dfrac{8}{5}\right)\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\left(\dfrac{9}{5};-\dfrac{63}{5}\right)=\dfrac{9}{5}\left(1;-7\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng BC nhận (7;1) là 1 vtpt

Phương trình BC:

\(7\left(x+8\right)+1\left(y-11\right)=0\Leftrightarrow7x+y+45=0\)