Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1. Chứng minh ab+bc+ca ≤ \(\dfrac{3}{4}\)
Chứng minh bằng cách lớp 8 giúp mình ạ 🙏 🙏 🙏
Những câu hỏi liên quan
Cho a3+b3+c3=abc. Chứng minh a+b+c=0 hoặc a=b=c
Các bạn làm ơn giúp mình với!!!!!!🙏🙏🙏🙏🙏
a^3+b^3+c^3=3abc thì a=b=c hay a+b+c=0 chứ sai đề r
Đúng 0
Bình luận (0)
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
Đúng 0
Bình luận (0)
Nếu bài này là a3+b3+c3=3abc thì giả như này
từ đề => (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=0
<=>a+b+c=0 hay a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
2a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
=>a-b=0,b-c=0,c-a=0
=>a=b=c
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ac=3abc. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\dfrac{ca}{c+a+1}}\ge\sqrt{3}\)
#Toán lớp 9
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ac=3abc. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\dfrac{ca}{c+a+1}}\ge\sqrt{3}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng \(\dfrac{ab}{a^4+b^4+ab}\) + \(\dfrac{bc}{b^4+c^4+bc}\) + \(\dfrac{ca}{c^4+a^4+ca}\) ≤ 1
Với mọi số thực dương a;b;c ta có BĐT:
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Tương tự, ta có:
\(VT\le\dfrac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}+\dfrac{bc}{bc\left(b^2+c^2\right)+bc}+\dfrac{ca}{ca\left(c^2+a^2\right)+ca}\)
\(VT\le\dfrac{1}{a^2+b^2+1}+\dfrac{1}{b^2+c^2+1}+\dfrac{1}{c^2+a^2+1}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT\le\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\)
Ta lại có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\dfrac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\dfrac{xyz}{zx\left(z+x\right)+xyz}=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng : \(\dfrac{a^3}{b}\)+ \(\dfrac{b^3}{c}\) +\(\dfrac{c^3}{a}\) ≥ 3
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=a^2+b^2+c^2\)
Mặt khác ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)-3=9\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Từ đó suy ra đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng
$\dfrac{ab}{a^4+b^4+ab}+\dfrac{bc}{b^4+c^4+bc}+\dfrac{ca}{c^4+a^4+ca} \le 1$
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ��≥12;��≥8ab≥12;bc≥8. Chứng mình rằng:left(a+b+cright)+2.left(dfrac{1}{ab}+dfrac{1}{bc}+dfrac{1}{ca}right)+dfrac{8}{abc}gedfrac{121}{12}
Đọc tiếp
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn . Chứng mình rằng:
\(\left(a+b+c\right)+2.\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}\ge\dfrac{121}{12}\)
Tách biểu thức như sau:
\(\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{24}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{b}{16}+\dfrac{c}{8}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{2}{ca}\right)+\left(\dfrac{13a}{18}+\dfrac{13b}{24}\right)+\left(\dfrac{13b}{48}+\dfrac{13c}{24}\right)\)
Đúng 2
Bình luận (3)
(Nháp)\(a+2b+3c=20\)Với các tham số \(0< x,y,z< 1\) ta có:\(A=a+b+c+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}\)\(=xa+yb+zc+\left(\dfrac{3}{a}+\left(1-x\right)a\right)+\left(\dfrac{9}{2b}+\left(1-y\right)b\right)+\left(\dfrac{4}{c}+\left(1-z\right)c\right)\)\(\ge^{Cauchy}xa+yb+zc+2\left(\sqrt{3\left(1-x\right)}+\sqrt{\dfrac{9\left(1-y\right)}{2}}+\sqrt{4\left(1-z\right)}\right)\)Chọn các tham số x,y,z (0<x,y,z<1) sao cho:\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}\\\dfrac{3}{a}=\left(1-x\right)a\\\dfrac{9}{2b}=\left(1-y\right)b\\\dfrac{4}{c}=\left(1-z\right)c\end{matrix}\right.\) và \(a+2b+3c=20\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x;z=3x\\a=\sqrt{\dfrac{3}{1-x}}\\b=\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-y\right)}}\\c=\sqrt{\dfrac{4}{1-z}}\end{matrix}\right.\) và \(a+2b+3c=20\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x;z=3x\\a=\sqrt{\dfrac{3}{1-x}}\\b=\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-2x\right)}}\\c=\sqrt{\dfrac{4}{1-3x}}\end{matrix}\right.\) và \(a+2b+3c=20\)\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{3}{1-x}}+2\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-2x\right)}}+3\sqrt{\dfrac{4}{1-3x}}=20\)Bấm máy ta được \(x=\dfrac{1}{4}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2};z=\dfrac{3}{4}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{\dfrac{3}{1-\dfrac{1}{4}}}=2\\b=\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-2.\dfrac{1}{4}\right)}}=3\\c=\sqrt{\dfrac{4}{1-3.\dfrac{1}{4}}}=4\end{matrix}\right.\)
Đúng 2
Bình luận (1)
9 tháng 11 2023 lúc 16:05
BT: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a ≥ b ≥ \(\dfrac{a+c}{2}\).
Chứng minh rằng :
\(\dfrac{a}{a+\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{ab}}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\).
Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1. Chứng minh ab+bc+ca < \(\frac{3}{4}\)
Ta có:(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)−abc≥(a+b+c)(ab+bc+ca)−19(a+b+c)(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)−abc≥(a+b+c)(ab+bc+ca)−19(a+b+c)(ab+bc+ca)
⇔1≥89(a+b+c)(ab+bc+ca)⇔1≥89(a+b+c)(ab+bc+ca)
⇔8164≥(a+b+c)2(ab+bc+ca)2≥3(ab+bc+ca)3⇔8164≥(a+b+c)2(ab+bc+ca)2≥3(ab+bc+ca)3
⇔34≥ab+bc+ca⇒⇔34≥ab+bc+ca⇒ đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)