chứng minh với mọi a,b,c ta có bất đẳng thức
\(2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\)
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) \(2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\).
b) \(a^4-a^3b-ab^3+b^4\ge0\)
Bo may la binh day k di hieu ashdbfgbgygygggydfsghuyfhdguuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu3
a, Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0< =>a^2-2ab+b^2\ge0< =>a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(a-c\right)^2\ge0< =>a^2-2ac+c^2\ge0< =>a^2+c^2\ge2ac\)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức sau : \(a^2+b^2+a^2+c^2\ge2ac+2ab< =>2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
a) 2a2 + b2 + c2 ≥ 2a( b + c )
<=> 2a2 + b2 + c2 ≥ 2ab + 2ac
<=> 2a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac ≥ 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2ac + c2 ) ≥ 0
<=> ( a - b )2 + ( a - c )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy bđt được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
b) a4 - a3b - ab3 + b4 ≥ 0
<=> a3( a - b ) - b3( a - b ) ≥ 0
<=> ( a - b )( a3 - b3 ) ≥ 0
<=> ( a - b )( a - b )( a2 + ab + b2 ) ≥ 0
<=> ( a - b )2[ ( a2 + ab + 1/4b2 ) + 3/4b2 ] ≥ 0
<=> ( a - b )2[ ( a + 1/2b )2 + 3/4b2 ) ≥ 0 ( đúng )
Vậy bđt được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
các bạn ơi giúp mình bài này với:
chứng minh với mọi a,b,c ta có bất đẳng thức:2a2+b2+c2>=2a(b+c)
chứng minh các bất đẳng thức sau
a/ \(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\) với mọi a,b
b/ \(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\ge\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}\) với mọi a,b,c>0
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge2\sqrt{a^2b^2}.2\sqrt{a^2}\ge2ab.2a=4a^2b\)
b) Áp dụng bất đẳng thức :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x;y>0\)
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{a+3b+b+2c+a}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{2}{b+2c+a}\\\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{b+2a+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(VT+VP\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP\)(đpcm)
chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2>=ab\) với mọi a,b
b)\(a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca\)
a, \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\)a^2+2ab+b^2>=4ab
\(\Leftrightarrow\)a^2-2ab+b^2>=0
\(\Leftrightarrow\)(a-b)^2>=0 (luôn đúng)
b,\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) luôn đúng
Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
VT : (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac + a2 + b2 + c2
= ( a2 + 2ab + b2 ) + (b2 + 2bc + c2) + ( a2 + 2ac + c2)
= (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 = VP
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)
chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2b+\(\frac{1}{b}\ge2a,\left(\forall a,b>0\right)\)
b) (a+b)(ab+1)≥4ab,(∀a,b>0)
c) (a+b)(a+2)(b+2)≥16ab, (∀a,b>0)
d) (1+\(\frac{a}{b}\))\(\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8,\left(\forall a.b,c>0\right)\)
Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng \(\frac{a^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{b^2}{2b^2+\left(c+a-b\right)^2}+\frac{c^2}{2c^2+\left(a+b-c\right)^2}\le1\)(ưu tiên dùng bất đẳng thức cô-si)
Chứng minh BĐT:\(2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\)
\(2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\)
\(a^2+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2ac\)
\(a^2+2ab+b^2+a^2+2ac+c^2\ge0\)
\(\left(a+b\right)^2+\left(a+c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrowđpcm\)
a^2 + a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2a(b+c)
Áp dụng bất đt cauchy cho hai số không âm a^2 và b^2
a^2 + b^2 lớn hơn hoặc bằng 2 căn ( a^2 b^2 )
a^2 + b^2 lớn hơn hoặc bằng 2ab ( 1 )
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số không âm a^2 và c^2
a^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2 căn ( a^2 c^2 )
a^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2ac ( 2 )
( 1 ) và ( 2 )
Suy ra a^2 + b^2 + a^2 + c^2 lớn hoăn hoặc bằng 2ab + 2ac
2a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2a(b+c) ( đpcm )
2a2 + b2 + c2 ≥ 2a( b + c )
<=> 2a2 + b2 + c2 ≥ 2ab + 2ac
<=> 2a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac ≥ 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2ac + c2 ) ≥ 0
<=> ( a - b )2 + ( a - c )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy bđt được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-c=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a=c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh các bất đẳng thức sau đây với a,b,c là các số thực dương
a) \(\left(ab+c^2\right)\left(bc+a^2\right)\left(ca+b^2\right)\ge abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
b) \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\)