cho tam giác abc có 3 góc nhọn.các tia ao,bò,có cắt bc,cá,ab tại p,q,r( o nằm trong tam giác abc).chứng minh oa/op+ob/oq+oc/or > hoặc = 6
Những câu hỏi liên quan
cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. các tia AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB thứ tự tại các điểm P,Q,R. chứng minh OA/OP*OB/OQ*OC/OR>=8
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các tia AO, Bo, Co cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R.
Chứng minh \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}\ge8\)
cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các Tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh \(\frac{OA}{OP}\times\frac{OB}{OQ}\times\frac{OC}{OR}\ge8\)
Cho tam giác ABC, O là điểm bất kì nằm tring tamm giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB tại P, Q, R. Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt{2}\)
Đặt \(S_{AOC}=x^2;S_{BOC}=y^2;S_{AOB}=z^2\) \(\left(x,y,z>0\right)\)
* Ta thấy tam giác AOB và BOP có chung đường cao kẻ từ B
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{OA}{OP}\). Tương tự \(\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{OA}{OP}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{BOP}+S_{COP}}=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}\)
Tương tự \(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{y^2+z^2}{x^2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\)
* Áp dụng BĐT cau-chy ta có
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2z^2}{y^4}}=\dfrac{2xz}{y^2}\) .
Tương tự \(\dfrac{y^2+z^2}{x^2}\ge\dfrac{2yz}{x^2}\) ; \(\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge\dfrac{2xy}{z^2}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}.\dfrac{y^2+z^2}{x^2}.\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge8\)
\(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{A}}=3\sqrt{2}\) - đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác nhọn ABC, BC>AC>BA.O là một điểm nằm bên trong tam giác. OA,OB,OC kéo dài cắt BC,CA,AB lần lượt ở P,Q,R. CMR OP+OR+OQ<BC
cho tam giác ABC va O la 1 diem bat ki trong tam giac cac tia OA,OB,OC cat cac canh BC ,CA,AB thu tu tai cac diem P,Q,R cm OA/OP *OB/OQ *OC/OR >=8
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh \(\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}\ge8\)
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các tia AO,BO, CO cắt các cạnh BC,CA,AB thứ tự tại các điểm P,Q,R. Chứng minh \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}\ge8\)
cho tam giác ABC , O nằm trong tam giác đó. Các tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P. Chứng minh rằng trong ba tỉ số OA/OM ; OB/ON; OC/OP có ít nhất một tỉ số không nhỏ hơn 2 và ít nhất một tỉ số không lớn hơn 2. ( bài toán cực trị trong hình học)
Trước hết ta chứng minh \(\frac{OA}{AM}+\frac{OB}{BN}+\frac{OC}{CP}=1\)
Thậy vậy \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{ON}{CP}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=1\)
Đặt \(\frac{OM}{AM}=x;\frac{ON}{BN}=y;\frac{OP}{CP}=z\Rightarrow x+y+z=1.\)
Khi đó \(a=\frac{OA}{OM}=\frac{AM-OM}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{1}{x}-1\Rightarrow x=\frac{1}{a+1}\)
Tương tự \(\frac{OB}{ON}=b\Rightarrow y=\frac{1}{b+1};\frac{OC}{OP}=c\Rightarrow z=\frac{1}{c+1};\)
Vậy thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1.\)
Nếu cả a, b, c đều nhỏ hơn 2 thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}>\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (Vô lý)
Vậy phải tồn tại một tỉ số không nhỏ hơn 2.
Nếu cả a, b, c đều lớn hơn 2 thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (Vô lý)
Vậy phải tồn tại một tỉ số không lớn hơn 2.
Đúng 0
Bình luận (0)