cho tam giác ABC nhọn trực tâm H . qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB , qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC ,2 đường thẳng cắt nhau tại D.
a, tứ giác BHCD là hình bình hành
b, gọi M là trung điểm của BC . chứng minh H,M,D thẳng hàng
c, gọi O là trubg điểm của AD . chứng minh AH = 2DM
a: Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
DO đó: BHCD là hình bình hành
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE,CF cắt nhau tại H (E thuộc AC,F thuộc AB). Qua điểm B kẻ đường thẳng d vuông góc với BA. Qua điểm C kẻ đường thẳng vuông góc với CA, đường thẳng này cắt đường thẳng d tại D.
a)Chứng minh BH // CD.
b)Chứng minh BHCD là hình bình hành.
c)Lấy K là trực tâm tam giác AEF, lấy I là trung điểm của EF. Chứng minh I là trung điểm của KH.
d)Chứng minh A,K,D thẳng hàng.
a: BH vuông góc CA
CD vuông góc CA
=>BH//CD
b: CH vuông góc AB
AB vuông góc BD
=>BD//Ch
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
=>BHCD là hbh
Cho ABC,các đường cao BH và CK cắt nhau tại E. Qua B kẻ đường thẳng Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ đường thẳng Cy vuông góc với AC. Hai đường thẳng Bx và Cy cắt nhau tại D. a) C/m tứ giác BDCE là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh M cũng là trung điểm của ED.
c) ABC phải thỏa mãn đ/kiện gì thì DE đi qua A
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với Ab tại B, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, chúng cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh: H, M, K thẳng hàng
b) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác BHCK là hình thoi
c) Gọi O là trung điểm của AK, CH giao với MA tại G. Chứng minh: G là trọng tâm của tam giác ABC
a: Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
=>BHCK là hình bình hành
=>H,M,K thẳng hàng
b: BHCK là hình thoi khi BH=HC
=>AB=AC
cho tam giác ABC cân tại A, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại M. Chứng minh AM là đường trung trực của BC
Xét ΔABM vuông tại B và ΔACM vuông tại C có
AM chung
AB=AC(ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔABM=ΔACM(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: BM=CM(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: BM=CM(cmt)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của BC
a) Gọi I là giao điểm của AM và BC
Xét \(\Delta ABM\) vuông tại B và \(\Delta ACM\) vuông tại C có :
AB =AC ( \(\Delta ABC\) cân tại A )
Cạnh AM chung
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\) ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) ( 2 góc tương ứng )
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) ( \(I\in AM\) )
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có :
AB = AC ( cmt )
\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\left(cmt\right)\)
Cạnh AI chung
\(\Rightarrow\Delta BAI=\Delta CAI\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\) IB = IC ( 2 cạnh tương ứng )
\(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) ( 2 góc tương ứng )
Có \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\left(cmt\right)\)
Mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\) (2 góc kề bù )
\(\Rightarrow2\widehat{AIB}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{AIB}=90^0\)
Có \(\widehat{AIB}=90^0\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow AI\perp BC\)
Mà \(I\in AM\) ( vẽ thêm )
\(\Rightarrow AM\perp BC\) tại I
Ta có : \(AM\perp BC\) tại M ( cmt )
IB =IC ( cmt )
\(\Rightarrow\) AM là đường trung trực của BC ( điều phải chứng minh )
Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là trung điểm của BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại I. Chứng minh: a, Tam giác AMB = tam giác AMC b. AM vuông góc BC c, IB = IC d, 3 điểm A, M, I thẳng hàng.
a: Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
MB=MC
AB=AC
Do đó: ΔAMB=ΔAMC
b: Ta có; ΔAMB=ΔAMC
=>\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
=>AM\(\perp\)BC
c: Xét ΔABI vuông tại B và ΔACI vuông tại C có
AI chung
AB=AC
Do đó: ΔABI=ΔACI
=>IB=IC
d: Ta có: IB=IC
=>I nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: ΔABC cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM là trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra A,M,I thẳng hàng
Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK cắt nhau tại E. Qua B kẻ đường thẳng Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ đường thẳng Cy vuông góc với AC. Hai đường thẳng Bx và Cy cắt nhau tại D.
a, chứng minh tứ giác BDCE là hình bình hành
b, gọi M là trung điểm của BC, chứng minh M là trung điểm của ED
c, Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để DE đi qua D
a,
+,Có CK vuông góc AB
BD vuông góc AB
=> CK // BD
=> CE //BD (*)
+,Có BH vuông góc AC
CD vuông góc AC
=> BH // CD
=> BE //CD (**)
Từ (*) (**) => BDCE là hình bình hành
b.
Có BDCE là hình bình hành (cmt)
=> đ/chéo BC giao đ/chéo DE tại trung điểm mỗi đường
mà M là trung điểm BC
=> M là trung điểm DE
c, Để DE đi qua A thì cần điều kiện tam giác ABC cân tại D.
Cho tam giác ABC với đường cao AH và M là trung điểm AB, k đối xứng với H qua M. Từ B và C kẻ đường thẳng vuông góc với AB và AC, hai đường thẳng đó cắt nhau tại E
Kẻ EF vuông góc BC. chứng minh BH = FC
Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC
a, chứng minh tam giác BEM=tam giác CFM
b, chứng minh AM là trung trực của EF
c, từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng này cắt nhau tại D. Chứng minh A, M, D thẳng hàng
