Bài 1. Cho đa thức P(x) = x³ + m.x² + n.x + p, với m, n, p là các số nguyên. Biết rằng P(x) nhận x = 1 là một nghiệm và P(√2) = 1. Xác định đa thức P(x).
Bài 2. Xác định một đa thức P(x) hệ số nguyên biết P(x) có bậc 2 và nhận số x = √2 + 1 là một nghiệm.
Bài 3. Cho đa thức P(x) = ax² + bx + c, với a, b, c là các số nguyên dương. Biết x = 1 − √2 là một nghiệm của đa thức. Chứng minh rằng (11a + 3b + 2c) chia hết cho 3
Bài 4. Cho đa thức P(x)=ax³ + bx² + cx + d.Biết rằng a - 2b + 4c - 8d = 0 , chứng minh rằng có ít nhất một nghiệm.
Bài 5. Cho đa thức P(x) = (x – 3)2 + 3. Tìm x thỏa mãn P(P(P(P(x)))) = 65539.
Bài 6. Xác định đa thức P(x) có bậc 2 thỏa mãn: P(0) = - 2 và 4P(x) – P(2x – 1) = 6x – 6.
Bài 7. Cho đa thức P(x) = ax³ + bx² + cx + d có giá trị nguyên với mọi x nguyên thì 6a; a + b + c ; d đều nhận giá trị nguyên.

Bài 1: Cho đa thức P(x) và Q(x) là các đơn thức thỏa mãn:
       P(x) + Q(x) = x³+x²-4x+2 và P(x) - Q(x) = x³-x²+2x-2
  a) Xác định đa thức P(x) và Q(x)
  b) Tìm nghiệm của đa thức P(x) và Q(x)
  c) Tính giá trị của P(x) và Q(x) biết |x- |\(\dfrac{x}{2}\)- |x-1||| = x-2
Bài 2: Biết rằng P(x) = n.xⁿ⁺⁴+ 3.x^4-n- 2x³+ 4x- 5 và Q(x) = 3.xⁿ⁺⁴- x⁴+ x³+ 2nx²+ x- 2 là các đa thức với n là 1 số nguyên. Xác định n sao cho P(x) - Q(x) là 1 đa thức bậc 5 và có 6 hạng tử
Bài 3: Cho đa thức P(x) = x+ 7x²- 6x³+ 3x⁴+ 2x²+ 6x- 2x⁴+ 1
   a) Thu gọn đa thức rồi sắp xếp các số hạng của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến x
   b) Xác định bậc của đa thức, hệ số tự do, hệ số cao nhất
   c) Tính P(-1); P(0); P(1); P(-a)
Bài 4: Cho đa thức bậc hai P(x) = ax²+ bx+ c với a ≠ 0
   a) Chứng tỏ rằng nếu đa thức có nghiệm x = 1 thì sẽ có nghiệm x = \(\dfrac{c}{a}\)
   b) Chứng tỏ rằng nếu đa thức có nghiệm x = -1 thì sẽ có nghiệm x = -\(\dfrac{c}{a} \)

câu 1 : tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức : \(P=-x^3-2x^2+x^3+4x+5\)

câu 2 xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau :

a) \(5x^2-2x+1-3x^4\)

b) \(1,5x^2-3,4x^4+0,5x^2-1\)

câu 3 : 

a) Tính \(\left(\dfrac{1}{2}x^3\right)\times\left(-4x^2\right)\). tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được

b) Tính \(\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{5}{2}x^3\). tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được

câu 4 : cho 2 đa thức :

\(A\left(x\right)=x^3+\dfrac{3}{2}x-7x^4+\dfrac{1}{2}x-4x^2+9\) và \(B\left(x\right)=x^5-3x^2+8x^4-5x^2-x^5+x-7\)

a) thu gọn và sắp xếp 2 đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến

b) tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho

câu 5 : cho 2 đa thức : 

\(P\left(x\right)=5x^3+2x^4-x^2+3x^2-x^3-2x^4-4x^3\) và 

\(Q\left(x\right)=3x-4x^3+8x^2-5x+4x^3+5\)

thu gọn và sắp xếp 2 đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến

câu 6 : người ta dùng 2 máy bơm để bơm nước vào bể chứa nước. máy thứ nhất bơm mỗi giờ được \(22m^3\) nước. máy thứ 2 bơm mỗi giờ được \(16m^3\) nước. sau cả hai máy chạy trong \(x\) giờ, người  ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ 2 chạy thêm \(0,5\) giờ nữa thì bể nước đầy. 

hãy viết đa thức (biến \(x\)) biểu thị dung tích của mỗi bể (\(m^3\)), biết rằng trước khi bơm trong bể có \(1,5m^3\) nước. tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó. 

câu 7 : viết đa thức \(F\left(x\right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :

\(\cdot\) bật của \(F\left(x\right)\) bằng \(3\)

\(\cdot\) hệ số của \(x^2\) bằng hệ số của \(x\) và bằng \(2\)

\(\cdot\) hệ số cao nhất của \(F\left(x\right)\) bằng \(-6\) và hệ số tự do bằng \(3\)

câu 8 : kiểm tra câu hỏi sau :

a) \(x=\dfrac{-1}{8}\) có phải là nghiệm của đa thức \(P\left(x\right)=4x+\dfrac{1}{2}\) không

b) trong 3 số \(1;-1;2\), số nào là số nghiệm của đa thức \(Q\left(x\right)=x^2+x-2?\)

câu 9 : mẹ cho quỳnh 100 000 đồng. quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 000 đồng và một cuốn sách tham khảo môn toán với giá \(x\) (nghìn đồng).

a) hãy tìm đa thức (biến \(x\)) biểu thị số tiền quỳnh còn lại (đơn vị nghìn đồng). tìm bậc của đa thức đó.

b) sau khi mua sách thì quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho, hỏi số tiền của cuốn sách là bao nhiêu ?