Tổng không đổi tích lớn nhất khi 2 số bằng nhau

Do x+y=1(không đổi)

=>xy đạt giá trị lớn nhất <=>x=y=0,5 =>xy=0,25

Ta có:x²+y²\(\ge\)2xy

=> bạn làm iaaps đi tui bận tí

Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+1=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+1=5\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

Đúng ko biết !?

@Nguyễn Việt Lâm

@Lê Thị Thục Hiền

@Phạm Minh Quang

\(P=\sum\frac{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2}}{4yz+1}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\frac{x+y}{\left(y+z\right)^2+1}\)

Đặt \(\left(x+y;y+z;z+x\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=3\)

\(P=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\frac{a}{b^2+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\left(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\right)\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\left(a-\frac{ab^2}{2b}\right)\)

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\right)\)

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

\(P_{min}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\) khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Điểm rơi: \(x=y=\frac{1}{2}.\)

\(A=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{1}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=\frac{1}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{6}{1^2}=8\)

@Akai Haruma

@Trần Thanh Phương

@HISINOMA KINIMADO

\(S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{3}{2xy}+4xy\ge\frac{4}{\frac{1}{4}}+\frac{3}{2xy}+384xy-380xy\)

\(\ge16+2\cdot24-380xy=64-380xy\)

+) \(\frac{1}{2}\ge x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{1}{4}\ge4xy\Leftrightarrow\frac{1}{16}\ge xy\)

\(\Rightarrow-380xy\ge380\cdot\frac{1}{16}=23.75\)

\(\Rightarrow S\ge64-23.75=40.25\)

Dấu = xảy ra khi x=y=1/4

Tại sao \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\le\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}\)  ?

Bạn xem BDT Cauchy-Schwarz nhé!