a) Ta có: \(\Delta'=(\frac{6}{2})^2-m\)

                    \(=9-m\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta>0\)

\(\Rightarrow 9-m>0\)

\(\Leftrightarrow m<9\)

Vậy khi m < 9 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b)Theo định lí Vi-ét ta có:

\(x_1.x_2=\frac{-m}{1}=-m(1)\)

\(x_1+x_2=\frac{-6}{1}=-6\)

Lại có \(x_1=2x_2\)

\(\Rightarrow3x_2=-6\)

\(\Leftrightarrow x_2=-2\)

\(\Rightarrow x_1=-4\)

Thay x1;x2 vào (1) ta được 

\(8=m\)

Vậy m-8 thì x1=2x2

giúp vs ạ

a, Vì pt trên nhận \(4+\sqrt{2019}\) là nghiệm nên

\(\left(4+\sqrt{2019}\right)^2-\left(2m+2\right)\left(4+\sqrt{2019}\right)+m^2+2m=0\)

\(\Leftrightarrow2035+8\sqrt{2019}-2m\left(4+\sqrt{2019}\right)-8-2\sqrt{2019}+m^2+2m=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m\left(3+\sqrt{2019}\right)+6\sqrt{2019}+2027=0\)

Có \(\Delta'=\left(3+\sqrt{2019}\right)^2-6\sqrt{2019}-2027=1>0\)

Nên pt có 2 nghiệm \(m=\frac{3+\sqrt{2019}-1}{1}=2+\sqrt{2019}\)

                   hoặc \(m=\frac{3+\sqrt{2019}+1}{1}=4+\sqrt{2019}\)

b, Theo Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\left(1\right)\\x_1x_2=m^2+2m\left(2\right)\end{cases}}\)

Theo đề \(x_1-x_2=m^2+2\left(3\right)\)

Lấy (1) + (3) theo từng vế được 

\(2x_1=m^2+2m+5\)

\(\Rightarrow x_1=\frac{m^2+2m+5}{2}\)

\(\Rightarrow x_2=2m+2-x_1=...=-\frac{\left(m-1\right)^2}{2}\)

Thay vào (2) được \(\frac{m^2+2m+5}{2}.\frac{-\left(m-1\right)^2}{2}=m^2+2m\)

                \(\Leftrightarrow-\left(m^2+2m+5\right)\left(m-1\right)^2=4m^2+8m\)

hmmm

\(\Delta=25-4\left(m-2\right)=25-4m+8=33-4m\)

Để pt có 2 nghiệm pb khi m =< 33/4 

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{x_2-1+x_1-1}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=\dfrac{x_1+x_2-2}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=2\)

Thay vào ta được : \(\dfrac{-7}{m-2+5+1}=2\Leftrightarrow\dfrac{-7}{m+4}=2\Rightarrow-7=2m+8\Leftrightarrow m=-\dfrac{15}{2}\)(tm) 

\(Pt:x^2+5x+m-2=0.có.2.nghiệm.phân.biệt\\ x_1,x_2\ne1\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=5^2-4\left(m-2\right)=33-4m>0\\1^2+5.1+m-2\ne0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{33}{4}\\m\ne-4\end{matrix}\right.\) 

Theo định lí Vi ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\\ Từ.giả.thiết:\\ \dfrac{ 1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=2\\ \Rightarrow x_2-1+x_1-1=2\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)-2=2\left[x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1\right]\\ \Leftrightarrow-5-2=2\left(m-2+5+1\right)\Leftrightarrow-7=2\left(m+4\right)\\ \Rightarrow m=\dfrac{-15}{2}\)

Bảo Ngọc tính nghiệm bị sai!

a) Ta xét : 

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2+2m=m^2-2m+4=\left(m-1\right)^2+3\ge3>0\)

Vì \(\Delta'>0\)nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Dễ thấy : x₁<x₂ nên ta có : 

\(x_1=\frac{2\left(m-2\right)-\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}}{2}=m-2-\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}\) ; \(x_2=\frac{2\left(m-2\right)+\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}}{2}=m-2+\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}\)

\(x_2-x_1=x_1^2\Leftrightarrow2\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}=\left(m-2-\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2+\left(m-1\right)^2+3-2\left(m-2\right)\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}=2\sqrt{\left(m-1\right)^2+3}\)

\(\Leftrightarrow m=2\)

Vậy m = 2

Hướng dẫn:

\(\left(m-2\right)x^4-3x^2+m+2=0\left(1\right)\)

TH1:  m - 2 = 0 <=> m = 2 

khi đó phương trình trở thành: \(-3x^2+4=0\)

<=> \(x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\)

TH2: m khác 2

Đặt: \(x^2=t\ge0\)

Ta có phương trình ẩn t: \(\left(m-2\right)t^2-3t+m+2=0\left(2\right)\)

có: \(\Delta=3^2-4\left(m-2\right)\left(m+2\right)=-4m^2+25\)

+) Phương trình (1)  vô nghiệm <=> phương trình (2) vô nghiệm 

<=> \(\Delta\)<0  ( tự giải ra) 

+) Phương trình (1) có 1 nghiệm <=> phương trình 2 có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm ( có thể có hoặc có thể không ) 

+) phương trình (1) có 3 nghiệm <=> phương trình 2 có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

Với t = 0 thay vào ta có: \(\left(m-2\right)0^2-3.0+m+2=0\)

<=> m = - 2 

Thay vào phương trình (2) : \(-4t^2-3.t=0\)

<=> \(t\left(4t+3\right)=0\)

<=> t = 0 

=> Không tồn tại t để phương trình có 3 nghiệm và m = -2 thì phương trình có 1 nghiệm 

+) Phương trình (1) có 2 nghiệm  <=>phuowng trình (2) có 2 nghiệm trái dấu 

<=> m + 2 < 0 <=> m < - 2 

Kết hợp với TH1 nữa nhé!

+)  Phương trình (1) có 4 nghiệm 

<=> phương trình 2 có 2 nghiệm dương 

<=> \(\Delta\ge0;P>0;S>0\) ( tự giải)

a) Thay m = -4 vào phương trình, ta có:

\(x^2+5x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-6\\x=1\end{matrix}\right.\)

KL: Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{-6;1\right\}\) khi m = -4

b) Xét \(\Delta=5^2-4.1.\left(m-2\right)=25-4m+8=33-4m\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow33-4m>0\Leftrightarrow m< \dfrac{33}{4}\)

Theo định lý Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1.x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

Để \(x_1^2+x^2_2-2x_1=25+2x_2\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)-25=0\)

<=> \(\left(-5\right)^2-2\left(m-2\right)-2\left(-5\right)-25=0\)

<=> \(25-2m+4+10-25=0\)

<=> 2m = 14

<=> m = 7 (Tm)

Vậy m = 7 để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn \(x_1^2+x^2_2-2x_1=25+2x_2\)