Phương trình d' qua M và vuông góc d có dạng: 

\(2\left(x-2\right)+1\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow2x+y-2=0\)

Hình chiếu vuông góc của M lên d là giao điểm d và d' nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

ĐKXĐ: \(m\ne1\)

Gọi \(\left(d'\right):y+2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(d'\right):y=-2x+3\)

Để \(\left(d\right)\perp\left(d'\right)\) thì: \(\left(m-1\right).\left(-2\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow-2m+2=-1\)

\(\Leftrightarrow-2m=-3\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\) (nhận)

\(\Rightarrow\left(d\right):y=\dfrac{1}{2}x+n+2\)

Thay tọa độ điểm A(2; 4) vào (d) ta được:

\(4=\dfrac{1}{2}.2+n+2\)

\(\Leftrightarrow1+n+2=4\)

\(\Leftrightarrow n=4-1-2\)

\(\Leftrightarrow n=1\)

Vậy \(m=\dfrac{3}{2};n=1\)

VTCP của \(\Delta\) là \(\overrightarrow{u}=\left(-2;2\right)=2\left(-1;1\right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\Delta\) 

\(\Rightarrow\Delta\) vuông góc \(MH\) \(\Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{MH}=0\)

Do \(H\in\Delta\Rightarrow H\left(-2-2t;1+2t\right)\Rightarrow\overrightarrow{MH}=\left(-5-2t;2t\right)\)

Ta có: \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{MH}=0\Leftrightarrow-1\left(-5-2t\right)+1.2t=0\Leftrightarrow5+4t=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow H\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\).

a.

Do d vuông góc với \(\Delta\) nên d nhận \(\left(1;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x+1\right)-3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-3y+4=0\)

b.

\(M\in d\) mà \(MH\perp\Delta\Rightarrow\) H là giao điểm của d và \(\Delta\)

Tọa độ H là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y+4=0\\3x+y-8=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(2;2\right)\)

c.

M' đối xứng với M qua \(\Delta\) khi và chỉ khi H là trung điểm MM'

Theo công thức trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=2x_H-x_M=5\\y_{M'}=2y_H-y_M=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(5;3\right)\)

Tại sao lại đổi từ (3; 1) sang (1; -3 ) vậy ạ? Denlta có dạng pttq thì có vtpt và đường thẳng d cũng vuông góc với denlta rồi mà?

Đáp án A

Xét yếu tố vuông góc nhập

hoành độ, tung độ, cao độ của các đáp án.

Ta thấy chỉ có đáp án (4; -1; 3) cho kết quả

bằng 0.

Đáp án C

Ta có 

Đáp án C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ. Ta có:

H ∈ Δ => H(1 + t; 2 + t; 1 + 2t)

u Δ → = (1; 1; 2), MH → = (1- t; t + 1; 2t - 3)

MH ⊥ Δ <=>  u Δ → . MH →  = 0 <=> 1.(t - 1) + 1.(t + 1) + 2(2t - 3) = 0

<=> 6t - 6 = 0 <=> t = 1 => H(2; 3; 3)