x(x+1)(x² +1) = y (y +1) 

+x=0 hoặc x = -1 => y =0 ; y =-1 => (0;0) ;( 0;-1);( -1;0);( -1;-1)

+ (x²+x)(x² +1) = y (y +1)  là tích 2 số nguyên liên tiếp khác 0

=> x =2 => y = x² +1 =5

VẬY (x;y) thuộc { (0;0) ;( 0;-1);( -1;0);( -1;-1);( 2;5)}

khó

đăng lại lên online math đi

bạn ấn vào đúng 0 sẽ ra kết quả, mình làm bài này rồi dễ lắm

Lời giải:

GTLN:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(B^2=(6\sqrt{x-1}+8\sqrt{3-x})^2\leq (6^2+8^2)(x-1+3-x)=200\)

\(\Rightarrow B_{\max}= 10\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{x-1}}=\frac{4}{\sqrt{3-x}}\Leftrightarrow x=\frac{43}{25}\)

GTNN:

Ta biết một bổ đề sau: Với \(a,b\geq 0\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)

Cách CM rất đơn giản vì nó tương đương với \(\sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán:

\(\Rightarrow B\geq \sqrt{36x-36+192-64x}=\sqrt{156-28x}\geq 6\sqrt{2}\) (do \(x\leq 3\))

Vậy \(B_{\min}=6\sqrt{2}\Leftrightarrow x=3\)

\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n^3+2n^2+1\right)\) cũng là SCP

\(\Rightarrow4\left(n^4+5n^3+6n^2+n+3\right)\) là SCP

\(\Rightarrow4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=k^2\)

Ta có:

\(4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n-1\right)^2+3n^2+14n+11>\left(2n^2+5n-1\right)^2\)

\(4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n+1\right)^2-\left(n-1\right)\left(5n+11\right)\le\left(2n^2+5n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2n^2+5n-1\right)^2< k^2\le\left(2n^2+5n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n\right)^2\\4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2-4n-12=0\\\left(n-1\right)\left(5n+11\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\\n=6\end{matrix}\right.\)

Thay lại kiểm tra thấy đều thỏa mãn