\(\Delta_{\perp}CAB\sim\Delta_{\perp}CKE\) (\(\widehat{ABC}=\widehat{KEC}\) góc có cạnh tương ứng vuông góc)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{KE}{CK}=2\Rightarrow AB=2AC\Rightarrow AC=AM\Rightarrow\Delta ACM\) vuông cân

A và K cùng nhìn CM dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow ACKM\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{AKM}=\widehat{ACM}=45^0\) (cùng chắn cung AM)

\(\Rightarrow\widehat{AKC}=90^0-\widehat{AKM}=45^0\)

\(\overrightarrow{AK}=\left(2;6\right)\Rightarrow AK\) nhận \(\overrightarrow{n_{AK}}=\left(3;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AK: \(3x-y-3=0\)

Gọi phương trình \(KC\) (hoặc KM) có dạng \(ax+by+c=0\), do KC qua K nên

\(4a+9b+c=0\Rightarrow KC:ax+by-4a-9b=0\)

\(cos\widehat{AKC}=\frac{\left|3a-b\right|}{\sqrt{10}.\sqrt{a^2+b^2}}=cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow9a^2-6ab+b^2=5a^2+5b^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2-6ab-4b^2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\b=-2a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình KC và KM:

\(\left[{}\begin{matrix}2bx+by-8b-9b=0\\ax-2ay-4a+18a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+y-17=0\\x-2y+14=0\end{matrix}\right.\)

Giả sử phương trình KC có dạng \(2x+y-17=0\) (trường hợp còn lại sẽ đối xứng ngược lại) \(\Rightarrow\) pt KM: \(x-2y+14=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C\left(c;17-2c\right)\\M\left(2m-14;m\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(c-2;14-2c\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(2m-26;m-3\right)\end{matrix}\right.\)

Do tam giác AMC vuông cân nên ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AM}\right|\\\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AM}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(c-2\right)^2+\left(14-2c\right)^2=\left(2m-26\right)^2+\left(m-3\right)^2\\\left(c-2\right)\left(2m-26\right)+\left(14-2c\right)\left(m-3\right)=0\end{matrix}\right.\)

Giải hệ này ra sẽ xong bài toán :D

Có 2 tam giác vuông \(\Delta ABE=\Delta ADF\) vì \(AB=AD\) và \(\widehat{BAE}=\widehat{DAF}\) cùng phụ với \(\widehat{DAE}\)

Suy ra tam giác AEF vuông cân và \(ME=MA=MF\Rightarrow AM\perp EF\)

Ta có \(\overrightarrow{MA}=\left(2;-4\right)\), đường thẳng EF đi qua M có phương trình :

\(2\left(x+4\right)-4\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-2y+8=0\)

Bây giờ tìm tọa độ các điểm E, F thỏa mãn ME=MA=MF. Gọi T(x;y) thuộc đường thẳng EF, thì x=2t-8; y=t, \(t\in R\)

Khi đó \(MT=MA\Leftrightarrow\left(2t-8+4\right)^2+\left(1-2\right)^2=2^2+\left(-4\right)^2=20\)

                            \(\Leftrightarrow5\left(t-2\right)^2=20\Leftrightarrow t\left(t-4\right)=0\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}t=0\\t=4\end{cases}\)

Như vậy có 2 điểm \(t_1\left(-8;0\right);t_2\left(0;4\right)\) ( Chính là 2 điểm E và F) thuộc đường thẳng EF mà \(MT_1=MA\)

- Trường hợp \(E\left(-8;0\right);F\left(0;4\right)\). Do F thuộc đường thẳng CD nên đường thẳng CD nhận \(\overrightarrow{KF}=\left(3;4\right)\) làm vec tơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng CD là \(\begin{cases}x=3t\\y=4+4t\end{cases}\)   (\(t\in R\)).

Khi đó \(D\left(3t;4+4t\right)\)

Ta có \(AD\perp KF\Leftrightarrow\overrightarrow{KF}.\overrightarrow{AD}=0\Rightarrow3\left(3t+6\right)+4\left(-2+4t\right)=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{5}\Rightarrow D\left(-\frac{6}{5};\frac{12}{5}\right)\)

- Trường hợp \(F\left(-8;0\right);E\left(0;4\right)\), đường thẳng CD nhận \(\overrightarrow{FK}=\left(5;0\right)\) làm vec tơ chỉ phương 

Phương trình CD : \(\begin{cases}x=-8+5t\\y=0\end{cases}\)   \(\left(t\in R\right)\)

Khi đó \(D\left(-8+5t;0\right)\)

Ta có \(AD\perp KF\Leftrightarrow\overrightarrow{FK}.\overrightarrow{AD}=0\Leftrightarrow5\left(-2+5t\right)=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{5}\Rightarrow D\left(-6;0\right)\)

a

ABC nội tiếp (I) hay (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC vậy nhỉ?

I là tâm đường tròn nội tiếp nên nó là giao 3 đường phân giác

MN vuông góc AI \(\Rightarrow\) tam giác AMN cân tại A \(\Rightarrow IM=IN\)

Ta có: \(\widehat{AMI}=90^0-\widehat{MAI}=90^0-\dfrac{1}{2}\widehat{A}=\dfrac{1}{2}\left(180^0-\widehat{A}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)\)

Mà \(\widehat{AMI}=\widehat{MBI}+\widehat{BIM}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}+\widehat{BIM}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=\dfrac{1}{2}\widehat{B}+\widehat{BIM}\Rightarrow\widehat{BIM}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}=\widehat{NCI}\)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(\widehat{CIN}=\widehat{MBI}\)

\(\Rightarrow\Delta MBI\sim\Delta NIC\Rightarrow\dfrac{BM}{IN}=\dfrac{IM}{NC}\Rightarrow BM.CN=IN.IM=IM^2\)

\(\Rightarrow IM^2=50\)

\(\Rightarrow\) M thuộc đường tròn tâm I có phương trình: \(\left(x-1\right)^2+y^2=50\)

Kết hợp M thuộc \(x+y+7=0\) và \(x_M< 0\Rightarrow M\left(-6;-1\right)\)

Tới đây coi như xong rồi

Tính \(\overrightarrow{MP}\Rightarrow\) phương trình AB

Tính \(\overrightarrow{MI}\Rightarrow\) phương trình AI (qua I và vuông góc IM)

\(\Rightarrow\) Tọa độ A

Tính tọa độ N (I là trung điểm MN)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AN}\Rightarrow\) phương trình AC