Đáp án: C

Thay lần lượt tọa độ của ba điểm A, B, C vào đường thẳng Δ ta được:

A: 1 - 2.0 + 1 = 2 > 0

B: 2 - 2.(-3) + 1 = 9 > 0

C: -2 - 2.4 + 1 = -9 < 0

Ta thấy: A và C nằm khác phía so với Δ nên Δ cắt cạnh AC

B và C nằm khác phía so với Δ nên Δ cắt cạnh BC

Δ vuông góc với d:3x-y+7=0

=>Δ: x+3y+c=0

Thay x=1 và y=5 vào Δ, ta được:

\(c+1+3\cdot5=0\)

=>c+16=0

=>c=-16

=>Δ: x+3y-16=0

M thuộc Ox nên M(x;0)

\(d\left(M;\text{Δ}\right)=3\)

=>\(\dfrac{\left|x\cdot1+0\cdot3-16\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=3\)

=>\(\left|x-16\right|=3\sqrt{10}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-16=3\sqrt{10}\\x-16=-3\sqrt{10}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=16+3\sqrt{10}\\x=16-3\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

vậy: \(M\left(16+3\sqrt{10};0\right);M\left(16-3\sqrt{10};0\right)\)

Ta thấy \(\left(2-2+1\right)\left(1-0+1\right)=2>0\Rightarrow A,B\) khác phía so với \(\Delta\)

Lấy B' đối xứng với B qua \(\Delta\)

BB' có phương trình \(2x+y+m=0\)

Do B thuộc đường thẳng BB' nên \(m=-2\Rightarrow BB':2x+y-2=0\)

B' có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow B'=\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

a, \(MA+MB=MA+MB'\ge AB'\)

\(min=AB'\Leftrightarrow M\) là giao điểm của AB' và \(\Delta\)

\(\Leftrightarrow...\)

b, \(\left|MA-MB\right|=\left|MA-MB'\right|\le AB'\)

\(max=AB'\Leftrightarrow M\) là giao điểm của AB' và \(\Delta\)

\(\Leftrightarrow...\)

Lời giải:
Gọi tọa độ $K$ là $(a,b)$

$-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow (a-5,b-2)=(-4,-2)$

$\Leftrightarrow a-5=-4; b-2=-2$

$\Leftrightarrow a=1; b=0$

Vậy $K(1,0)$