Với giá trị nào của tham số a thì phương trình sau có nghiệm: \(a^2x^2+2a\left(\sqrt{3}-1\right)x+\sqrt{x-4}=2\sqrt{3}-4\)
Gọi a là nghiệm dương của phương trình: \(\sqrt{2}x^2+x-1=0\) . Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: \(C=\dfrac{2a-3}{\sqrt{2\left(2a^4-2a+3\right)}+2a^2}\)
a là nghiệm nên \(\sqrt{2}a^2+a-1=0\Rightarrow\sqrt{2}a^2=1-a\)
\(\Rightarrow2a^4=\left(1-a\right)^2=a^2-2a+1\)
\(\Rightarrow2a^4-2a+3=a^2-4a+4=\left(a-2\right)^2\)
Mặt khác \(1-a=\sqrt{2}a^2>0\Rightarrow a< 1\)
\(\Rightarrow\sqrt{2\left(2a^4-2a+3\right)}+2a^2=\sqrt{2\left(a-2\right)^2}+2a^2=\sqrt{2}\left(2-a\right)+2a^2\)
\(=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}a^2-a+2\right)=\sqrt{2}\left(1-a-a+2\right)=\sqrt{2}\left(3-2a\right)\)
\(\Rightarrow C=\dfrac{2a-3}{\sqrt{2}\left(3-2a\right)}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Gọi a là nghiệm dương của phương trình: \(\sqrt{2}x^2+x-1=0\), không giải phương trình tính giá trị của
\(C=\frac{2a-3}{\sqrt{2\left(2a^4-2a+3\right)}+2a^2}\)
với giá trị nào của m thì phương trình 2x^2 + 2(m-2)x+3-m=0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương"
A. m < 3
B.m < \(-\sqrt{5}\)
C.\(\left[{}\begin{matrix}m< -\sqrt{5}\\m>\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
D. m < 1
Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm phân biệt cùng dương thì:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta'=(m-2)^2-2(3-m)>0\\ S=2-m>0\\ P=\frac{3-m}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-2m-2>0\\ m< 2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m< 1-\sqrt{3}\)
Gọi a là nghiệm dương của phương trình: \(\sqrt{2}x^2+x-1=0\). Không giải phương trình hãy tính giá trị của
\(C=\frac{2a-3}{\sqrt{2\left(2a^4-2a+3\right)}+2a^2}\)
Thay \(\sqrt{2}a^2=1-a\ge\)0 suy ra a <=1 tính được mẫu = \(-\sqrt{2}\left(2a-3\right)\)
Cho bât phương trình \(2\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\le x^2-2x+2m-9\). Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình nghiệm đứng với \(\forall\) x thuộc [-1;3]
a. CMR: Với mọi tham số m phương trình \(\left(1-m^2\right)x^3-6x=1\) luôn có nghiệm
b. CMR PT \(x^3+2x=4+3\sqrt{3-2x}\) có đúng 1 nghiệm
c. CMR PT \(\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5=0\) có nghiệm với mọi m
a.
- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)
- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)
- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)
Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m
b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được
c.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)
\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m
Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm
Gọi a là nghiệm dương của phương trình : \(\sqrt{2}x^2+x-1=0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức :
\(C=\frac{2a-3}{\sqrt{2\left(2a^4-2a+3\right)}+2a^2}\)
ta có :
\(\sqrt{2}a^2+a-1=0\Leftrightarrow\sqrt{2}a^2=1-a\) nên ta có \(a\le1\)
\(\Rightarrow2a^4=a^2-2a+1\)Vậy \(C=\frac{2a-3}{\sqrt{2\left(a^2-4a+4\right)}+2a^2}=\frac{2a-3}{2a^2+\sqrt{2}\left(2-a\right)}=\frac{2a-3}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}a^2-a+2\right)}\)
\(=\frac{2a-3}{\sqrt{2}\left(1-a-a+2\right)}=\frac{2a-3}{\sqrt{2}\left(3-2a\right)}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực:
\(\sqrt{5x^{2}-14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x+1}\)
Bài giải: Điều kiện \(x\geqslant 5\)
Chuyển vế và bình phương hai vế phương trình ta có
\(2x^{2}-5x+2=5\sqrt{\left ( x^{2}-x-20 \right )\left ( x+1 \right )}\)
\(2x^{2}-5x+2=5\sqrt{\left ( x^{2}-4x-5 \right )\left ( x+4 \right )}\)
Ta cần tìm các hằng số \(a,b\) sao cho
\(a\left ( x^{2}-4x-5 \right )+b\left ( x+4 \right )=2x^{2}-5x+2\)
Đồng nhất hai vế đẳng thức trên ta có hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ -4a+b=-5 & & \\ -5a+4b=2 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=3 & & \end{matrix}\right.\)
Đặt \(u=\sqrt{x^{2}-4x-5}; v=\sqrt{x+4}\), ta có phương trình
\(2a^{2}+3b^{2}=5ab\Leftrightarrow \left ( a-b \right )\left ( 2a-3b \right )=0\)
TH1: \(a=b\) thì \(x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}\)
TH2: \(2a=3b\) thì \(x=8\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=8;x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}\)
đây mà là toán lp 2 á đùa tôi đấy à
Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có nghiệm? Tìm nghiệm đó theo m
\(\sqrt{x+16-4m}=2\sqrt{x+4-2m}-\sqrt{x}\)