Gọi nghiệm của phương trình 6x²+20x+15=0 là t₁và t₂ .

Nếu ta giả sử rằng a=t₁ thì b=\(\frac{1}{t_2}\)

Lúc này biểu thức đã cho trở thành :

\(\frac{\frac{1}{t^3_2}}{\frac{t_1}{t^2_2}-9\left(\frac{t_1}{t_2}+1\right)^3}\)\(=\frac{1}{t_1.t_2-9\left(t_1+t_2\right)^3}\)

Bây giờ chỉ cần thay các giá trị t₁+t₂ và t₁.t₂ từ phương trình bậc 2 vào biểu thức trên để có đáp án.

P/s : nếu chưa học pt bậc 2 thì k làm được đâu

chiuj^_^

Theo tớ là tìm Min chứ nhỉ ??

\(ab\left(a+b\right)=a^2+b^2-ab\Rightarrow ab=\dfrac{a^2+b^2-ab}{a+b}\)

\(A=\dfrac{a^3+b^3}{a^3b^3}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)}{a^3b^3}=\dfrac{\left(a+b\right)ab\left(a+b\right)}{a^3b^3}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}\)

\(=\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)^2=\left(\dfrac{a+b}{\dfrac{a^2+b^2-ab}{a+b}}\right)^2=\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\right)^2\)

Ta có: \(a^2+b^2-ab>0;\forall a;b\ne0\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\ge0\)

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-ab}=\dfrac{4\left(a^2+b^2-ab\right)-3\left(a^2+b^2-2ab\right)}{a^2+b^2-ab}=4-\dfrac{3\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\le4\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\le4\)

\(\Rightarrow A\le16\)

\(A_{max}=16\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

vào thống kê để xem hình ảnh

Lời giải:

\(P=\frac{a^4-a-b^4+b}{(b^3-1)(a^3-1)}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)

\(=\frac{(a^4-b^4)-(a-b)}{a^3b^3-(a^3+b^3)+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=\frac{(a-b)[(a+b)(a^2+b^2)-1]}{a^3b^3-[(a+b)^3-3ab(a+b)]+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)

\(=\frac{(a-b)[(a^2+b^2)-(a+b)^2]}{a^3b^3-[1-3ab]+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=\frac{-2ab(a-b)}{a^3b^3+3ab}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)

\(=\frac{-2(a-b)}{a^2b^2+3}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=0\)

Lời giải:

\(P=\frac{a^4-a-b^4+b}{(b^3-1)(a^3-1)}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)

\(=\frac{(a^4-b^4)-(a-b)}{a^3b^3-(a^3+b^3)+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=\frac{(a-b)[(a+b)(a^2+b^2)-1]}{a^3b^3-[(a+b)^3-3ab(a+b)]+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)

\(=\frac{(a-b)[(a^2+b^2)-(a+b)^2]}{a^3b^3-[1-3ab]+1}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=\frac{-2ab(a-b)}{a^3b^3+3ab}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}\)

\(=\frac{-2(a-b)}{a^2b^2+3}+\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}=0\)

Ta có : a+b+c = 1 ==> a=1-b-c thay vào căn thức được : 

\(\sqrt{\frac{\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)}{c+ab}}=\sqrt{\frac{\left(1-b-c+bc\right)\left(b+c-bc-c^2\right)}{c+b-b^2-bc}}=\sqrt{\frac{\left(1-b\right)\left(1-c\right)^2\left(b+c\right)}{\left(1-b\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\left(1-c\right)^2}=\left|1-c\right|=1-c=a+b\)(đpcm)