Xét tam giác MNI và MPI có

       MI là cạnh chung

       MN = MP( tam giác MNP cân)

       Góc MIN = góc MIP = 90°

=> Tam giác MIN = tam giác MIP( cgv - ch)

IN = IP = 5 cm nên I là trung điểm của NP

b) Tam giác MIN vuông tại I có

NI² + MI² = MN²(  định lí Pytago)

MI² + 5² = 14²

MI² + 25 = 196

MI² = 144

MI=12

c) Xét tam giác PHI và PKI có

         MI là cạnh chung

         Góc HMI = KMI ( tam giác NMI = PMI )

          Góc IHM = IKM = 90° 

=》 Tam giác HMI = KMI ( ch - gn)

=》IH=IK

\(a,\left\{{}\begin{matrix}MI=IN\\MK=KP\end{matrix}\right.\Rightarrow IK\) là đường trung bình tam giác MNP

\(b,\left\{{}\begin{matrix}MK=KP\\HK//MN\end{matrix}\right.\Rightarrow NH=HP\) hay \(H\) là trung điểm NP

\(c,\left\{{}\begin{matrix}MI=IN\\NH=HP\end{matrix}\right.\Rightarrow IH\) là đường trung bình tam giác MNP

\(\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}MP=10\left(cm\right)\)

a) Xét hai tam giác vuông: ∆IMN và ∆IKN có:

IN chung

MNI = KNI (do NI là phân giác của ∠MNP)

⇒ ∆IMN = ∆IKN (cạnh huyền - góc nhọn)

b) ∆IKP vuông tại K

IP là cạnh huyền nên IP lớn nhất

IK < IP (1)

Do ∆IMN = ∆IKN (cmt)

⇒ MI = IK (2)

Từ (1) và (2)⇒ MI < IP

c) Xét hai tam giác vuông: ∆IKP và ∆IMQ có:

IM = IK (cmt)

∠PIK = ∠MIQ (đối đỉnh)

∆IKP = ∆IMQ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ KP = MQ (hai cạnh tương ứng)  (3)

Do ∆IMN = ∆IKN (cmt)

⇒ MN = KN (hai cạnh tương ứng)   (4)

Từ (3) và (4) ⇒ KN + KP = MN + MQ

NP = NQ

⇒ ∆NPQ cân tại N

Lại có NI là phân giác của ∠MNP

⇒ NI là phân giác của ∠QNP

⇒ NI cũng là đường cao của ∆NPQ (tính chất tam giác cân)

⇒ ND ⊥ QP

Giúp vs ạ mình đang cần gấp

giúp vs mình cần gấp :(((

a: Xét ΔCIA vuông tại I và ΔCIB vuông tại I có

CA=CB

CI chung

Do đó: ΔCIA=ΔCIB

Suy ra: IA=IB

b: Xét ΔCHI vuông tại H và ΔCKI vuông tại K có

CI chung

\(\widehat{HCI}=\widehat{KCI}\)

Do đó: ΔCHI=ΔCKI

Suy ra: IH=IK

c: IA=IB=AB/2=6(cm)

nen IC=8(cm)

d: Xét ΔCAB có CH/CA=CK/CB

nên HK//AB

Bài làm:

a,  Vì △MNP cân tại P => PN = PM

Xét △NPI và △MPI

Có: NP = MP (gt)

      NPI = MPI (gt)

    PI là cạnh chung

=> △NPI = △MPI (c.g.c)

b, Xét △HPI vuông tại H và △KPI vuông tại K

Có: PI là cạnh chung

   HPI = KPI (gt)

=> △HPI = △KPI (ch-gn)

=> HIP = PIK (2 góc tương ứng)

Mà IP nằm giữa IH, IK

=> IP là phân giác KIH

c, Ta có: PIN = MIQ (2 góc đối đỉnh)

Mà PIN = 90^o (gt)

=> MIQ = 90^o    (1) 

Xét △MIQ có: IQ = IM => △MIQ cân tại I   (2)

Từ (1), (2) => △MIQ vuông cân tại I

Vì △NPI = △MPI (cmt) 

=> IN = IM (2 cạnh tương ứng)

Mà MN = IN + IM = 6 (cm)

=> IN = IM = 6 : 2 = 3 (cm)

Mà IM = IQ 

=> IM = IQ = 3 (cm)

Xét △MIQ vuông tại I có: IQ² + IM² = MQ² (định lý Pitago)

=> 3² + 3² = MQ²

=> 9 + 9 = MQ²

=> 18 = MQ²

=> MQ = \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

d, Để △PHK đều <=> HPK = PKH = KHP = 60^o

=> △MNP có NPM = 60^o mà △MNP cân

=> △MNP đều

Vậy để △PKH đều <=> △MNP đều