Bài 5: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình :
x4 + ( 1 - 2m)x2 + m2-1 = 0
a) vô nghiệm
b) Có hai nghiệm phân biệt
c) Có bốn nghiệm phân biệt
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có: x4 +2(m – 2)x2 + m2 – 5m + 5 = 0
a) có 4 nghiệm phân biệt b) có 3 nghiệm phận biệt c)có hai nghiệm phân biệt
d) có một nghiệm
e) vô nghiệm
Tìm m để các phương trình (m+3)x4-(2m-1)x2-3 =0 có:
1/ Một nghiệm
2/ Hai nghiệm phân biệt
3/ Bốn nghiệm phân biệt
Lời giải:
Nếu $m=-3$ thì PT trở thành: $7x^2-3=0$ có nghiệm $x=\pm \sqrt{\frac{3}{7}}$
-------------------------------------------------------------
Nếu $m\neq -3$Đặt $x^2=t$ thì pt trở thành:
$(m+3)t^2-(2m-1)t-3=0(*)$
1. Để pt ban đầu có 1 nghiệm thì PT $(*)$ có nghiệm $t=0$ và nếu có nghiệm còn lại thì nghiệm đó âm.
Để PT $(*)$ có nghiệm $t=0$ thì: $(m+3).0-(2m-1).0-3=0\Leftrightarrow -3=0$ (vô lý)
Do đó không tồn tại $m$ để pt có 1 nghiệm.
2. Để pt ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì PT $(*)$ có 1 nghiệm dương kép hoặc có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.
PT có 1 nghiệm dương, 1 nghiệm âm khi \(\left\{\begin{matrix} \Delta (*)=(2m-1)^2+12(m+3)> 0\\ P=\frac{-3}{m+3}<0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m>-3\)
PT có nghiệm kép dương $\Leftrightarrow \Delta (*)=(2m-1)^2+12(m+3)=0\Leftrightarrow 4m^2+8m+37=0$ (vô lý)
Vậy $m>-3$
3.
PT ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi PT $(*)$ có 2 nghiệm dương phân biệt
Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \Delta (*)=(2m-1)^2+12(m+3)>0\\ S=\frac{2m-1}{m+3}>0\\ P=\frac{-3}{m+3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -3\)
Cho phương trình (ẩn x) x 2 – 2 ( m – 1 ) x + m 2 = 0
a) Tính Δ'.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm.
a) Phương trình x 2 – 2 ( m – 1 ) x + m 2 = 0 (1)
Có a = 1; b’ = -(m – 1); c = m 2
b) Phương trình (1):
+ Vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ 1 – 2m < 0 ⇔ 2m > 1 ⇔ m >
+ Có nghiệm kép ⇔ Δ’ = 0 ⇔ 1 – 2m = 0 ⇔ m =
+ Có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ 1 – 2m > 0 ⇔ 2m < 1 ⇔ m <
Vậy: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m < ; có nghiệm kép khi m = và vô nghiệm khi m >
Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0 (m là tham số)
1/ Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
2/ Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dậu
3/ Với giá trị nào của m thì biểu thức A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó
a/ Xét pt :
\(x^2-2\left(m-1\right)+2m-5=0\)
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)=m^2-2m+1-2m+5=m^2-4m+6=\left(m-2\right)^2+2>0\forall m\)
\(\Leftrightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
b/ Phương trình cớ 2 nghiệm trái dấu
\(\Leftrightarrow2m-5< 0\)
\(\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{2}\)
c/ Theo định lí Vi - et ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^2+x_2^2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\)
\(=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-5\right)\)
\(=4m^2-8m+4-4m+10\)
\(=4m^2-12m+14=4\left(m^2-3m+\dfrac{9}{4}\right)+5=4\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+5\ge5\)
\(A_{min}=5\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)
1, \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)=m^2-4m+6=\left(m-2\right)^2+2>0\)
Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
2, Vì pt có 2 nghiệm trái dấu
\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-5< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{2}\)
3, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-5\right)\)
\(=4m^2-12m+14=4m^2-2.2m.3+9+6\)
\(=\left(2m-3\right)^2+6\ge6\forall m\)
Dấu ''='' xảy ra khi m = 3/2
Vậy với m = 3/2 thì A đạt GTNN tại 6
1: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-5\right)\)
\(=4m^2-8m+4-8m+20\)
\(=4m^2-16m+24\)
\(=4m^2-16m+16+8\)
\(=\left(2m-4\right)^2+8>0\forall m\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
2: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 2m-5<0
hay m<5/2
3: \(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\left(2m-2\right)^2-2\left(2m-5\right)\)
\(=4m^2-8m+4-4m+10\)
\(=4m^2-12m+14\)
\(=4m^2-12m+9+5\)
\(=\left(2m-3\right)^2+5\ge5\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi m=3/2
Cho phương trình (ẩn x) x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0
Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm.
Phương trình (1):
+ Vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ 1 – 2m < 0 ⇔ 2m > 1 ⇔ m >
+ Có nghiệm kép ⇔ Δ’ = 0 ⇔ 1 – 2m = 0 ⇔ m =
+ Có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ 1 – 2m > 0 ⇔ 2m < 1 ⇔ m <
Vậy: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m < ; có nghiệm kép khi m = và vô nghiệm khi m >
Cho phương trình x 2 – (2m + 1)x + m 2 + 1 = 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m ∈ ℤ để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 sao cho biểu thức P = x 1 x 2 x 1 + x 2 có giá trị là số nguyên
A. m = 1
B. m = 2
C. m = −2
D. m = 0
tìm các giá trị m sao cho phương trình : x4 + (1 - 2m)x2 + m2 - 1 = 0 : a) vô nghiệm ; b) có 2 nghiệm phân biệt ; c) có 4 nghiệm phân biệt .
Đặt \(a=x^2\left(a>=0\right)\)
pt trở thành \(a^2+\left(1-2m\right)a+m^2-1=0\)
\(\text{Δ}=\left(1-2m\right)^2-4\left(m^2-1\right)\)
\(=4m^2-4m+1-4m^2+4=-4m+5\)
a: Để pt vô nghiệm thì -4m+5<0
hay m>5/4
b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -4m+5>0
hay m<5/4
c: Để pt có 4 nghiệm phân biệt thì
\(\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{5}{4}\\-2m+1>0\\m^2-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{5}{4}\\m< \dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\\dfrac{1}{2}< m< 1\end{matrix}\right.\)
Cho phương trình x2 - (m-1)x-2m-1=0 (1) (m là tham số)
a. Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương.
c. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x12 +x22 =3
a:
\(\text{Δ}=\left(m-1\right)^2-4\left(-2m-1\right)\)
\(=m^2-2m+1+8m+4=m^2+6m+5\)
Để (1) vô nghiệm thì (m+1)(m+5)<0
hay -5<m<-1
Để (1) có nghiệm thì (m+1)(m+5)>=0
=>m>=-1 hoặc m<=-5
Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì (m+1)(m+5)>0
=>m>-1 hoặc m<-5
b: Để (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương thì
\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -5\end{matrix}\right.\\m>1\\m< -\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)
c. Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=-2m-1\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=3\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+2\left(2m+1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Tìm m để phương trình x 2 − 2 m + 1 x + m 2 − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất
A. 1 3
B. − 1 3
C. − 1 5
D. -1
PT x 2 − 2 m + 1 x + m 2 − 1 = 0 ( 1 ) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2
Theo Vi-et ta có: x 1 + x 2 = 2 m + 1 x 1 x 2 = m 2 − 1
Ta có: x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 = x 1 + x 2 2 + 6 x 1 x 2 = 2 m + 1 2 + 6 m 2 − 1
= 10 m 2 + 2 5 m + 1 25 − 27 5 = 10 m + 1 5 2 − 27 5
⇒ x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 ≥ − 27 5
Dấu ‘=’ xảy ra khi m = − 1 5 (thỏa mãn (*))
Vậy x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi m = − 1 5
Đáp án cần chọn là: C
Bài 5: Cho phương trình: x2 – mx – m – 1 = 0 ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình: a) Có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại. b) Có hai nghiệm phân biệt. c) Có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. d) Có hai nghiệm cùng dấu. e) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 3 + x2 3 = -1 f) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: |𝑥1 − 𝑥2 | ≥ 3 g) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 – 5x2 = -2
a: Thay x=5 vào pt, ta được:
25-5m-m-1=0
=>24-6m=0
hay m=4
b: \(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\left(-m-1\right)\)
\(=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m+2<>0
hay m<>-2
d: Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu thì \(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\-m-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)