Cho ba số thực dương x,y,z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{x^2+y^2+z^2}{2xy+2yz+zx}.\)
Cho ba số thực dương x,y,z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{x^2+y^2+z^2}{2xy+2yz+zx}.\) ff
Cho các số thực dương x,y,z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+2yz+zx}\)
Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x ( x 8 + 2 yz ) + y ( y 8 + 2 xz ) + z ( z 8 + 2 xy ) .
A. 9/2.
B. 9/4.
C.9.
D. 6.
1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn \(^{x^2+y^2+z^2\le xyz}\)
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}\)
2. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\)
Cho x,y,z là ba số thực dương .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}\)
ta có \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
tương tự ta có các trường hợp còn lại và ta có
\(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)\)
đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\)
=> \(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+ca}\)
Áp dụng bđt svác sơ ta có
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
mạt khác Áp dụng bđt cô si ta có
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{cases}}\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(A\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
=> \(S\ge\frac{3}{4}\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z>o
ta có \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{1}{4y^2}+\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{2}xy+\frac{3}{4}y^2}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{3}{4}\left(x^2-2xy+y^2\right)}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\)
Ta có
\(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot\left(y+x\right)\)
Tương tự ta có các TH còn lại
Ta có
\(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)\)
Đặt x + y = a ; y + z = b ; z + x = c
\(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+cb}\)
Áp dụng BĐT Svac sơ ta có
\(A\ge\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\right)\)
Mặt khác ADBĐT Cosy ta có
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a\ge^22ac\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{2}\Rightarrow S\ge\frac{3}{4}\)
Dấu =xảy ra khi x=y=z>o
\(\downarrow\)
Cho các số thực dương x, y, z thay đổi và thỏa mãn: 5 x 2 + y 2 + z 2 = 9 x y + 2 y z + z x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x y 2 + z 2 - 1 x + y + x 3 bằng
A. 18..
B. 12.
C. 16.
D. 24.
Cho các số thực dương x,y,z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+2yz+zx}\)
Sử dụng pp cân bằng hệ số:
\(\frac{\sqrt{5}+1}{4}x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{4}y^2\ge xy\)
\(\frac{\sqrt{5}+1}{4}x^2+\frac{\sqrt{5}-1}{4}z^2\ge xz\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{5}+1}{2}x^2+\frac{\sqrt{5}+1}{2}y^2+\frac{\sqrt{5}+1}{2}z^2\ge xy+2yz+zx\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+2yz+zx}\ge\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(A=\frac{xyz\left(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}\)
Ta chứng minh được các bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương và bất đẳng thức Cô-si:
\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{xyz}{xy+yz+zx}\le\frac{\sqrt[3]{xyz}}{3}\)
Mà \(\sqrt[3]{xyz}\le\frac{x+y+z}{3}\le\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}\)
Vậy \(A\le\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}.\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{x^2+y^2+z^2}\)
\(A\le\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}\)
a) Chứng minh rằng \(x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq xy + yz +zx\) với mọi x, y, z
b) Cho x, y, z là ba số thực dương và thoả mãn: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq xyz\). Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{x^{2} + yz} + \frac{y}{y^{2}+ zx} + \frac{z}{z^{2} + xy}\)