nhân 2vao pt (1) rồi cộng với pt 2 ta có:

x^2+y^2+2xy+5(x+y)=6+m

=(x+y)^2+5(x+y)=6+m

=t^2+5t=6+m

=t^2+5t-6-m

pt co nghiem duy nhat khi delta=0

tự giải =)))))))))))))))))))))))))))))))))

lấy pt 1-pt 2 ta có

(x-y)=(y^2-x^2)-y+x

(x-y)(1-x-y+1)=0

=>x=y or x+y=2 thay vào hệ rồi giải tiếp

Lời giải:

Lấy PT $(1)$ trừ PT $(2)$ thu được:

$x^2-y^2=0$

$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x=-y$

Nếu $x=y$ thì HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ x=x^2-x+m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ x^2-2x+m=0\end{matrix}\right.\)

Để hpt có nghiệm thì $x^2-2x+m=0$ có nghiệm 

$\Leftrightarrow \Delta'=1-m\geq 0$

$\Leftrightarrow m\leq 1$

Nếu $x=-y$ thì HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-y\\ x=x^2+x+m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-y\\ x^2+m=0\end{matrix}\right.\)

Để hpt có nghiệm $\Leftrightarrow x^2+m=0$ có nghiệm 

$\Leftrightarrow \Delta=-m\geq 0\Leftrightarrow m\leq 0$

Kết hợp cả 2 TH ta thấy $m\leq 0$ thì hpt có nghiệm.

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\y\ge-3\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\ge0\\\sqrt{y+3}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2+b^2-3=2m-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2+b^2=2m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a^2+\left(m-a\right)^2=2m\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2m.a+m^2-2m=0\) (1)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm không âm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-2\left(m^2-2m\right)\ge0\\a_1+a_2=m\ge0\\a_1a_2=\dfrac{m^2-2m}{2}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le m\le4\\m\ge0\\\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\2\le m\le4\end{matrix}\right.\)

1: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac14<>\frac{m+1}{-1}\)

=>m+1<>-4

=>m<>-5

\(\begin{cases}x+\left(m+1\right)y=1\\ 4x-y=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x+\left(4m+4\right)y=4\\ 4x-y=-2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4x+\left(4m+4\right)y-4x+y=4+2=6\\ 4x-y=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y\left(4m+5\right)=6\\ 4x=y-2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=\frac{6}{4m+5}\\ 4x=\frac{6}{4m+5}-2=\frac{6-8m-10}{4m+5}=\frac{-8m-4}{4m+5}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=\frac{6}{4m+5}\\ x=\frac{-2m-1}{4m+5}\end{cases}\)

Để (x;y) nguyên thì \(\begin{cases}6\vdots4m+5\\ -2m-1\vdots4m+5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6\vdots4m+5\\ -4m-2\vdots4m+5\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}6\vdots4m+5\\ -4m-5+3\vdots4m+5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6\vdots4m+5\\ 3\vdots4m+5\end{cases}\Rightarrow3\vdots4m+5\)

=>4m+5∈{1;-1;3;-3}

=>4m∈{-4;-6;-2;-8}

=>m∈{-1;-3/2;-1/2;-2}

mà m nguyên và m<>-5

nên m∈{-1;-2}

2: \(x^2+y^2=0,25\)

=>\(\left(\frac{6}{4m+5}\right)^2+\left(\frac{-2m-1}{4m+5}\right)^2=0,25=\frac14\)

=>\(\frac{36}{\left(4m+5\right)^2}+\frac{\left(2m+1\right)^2}{\left(4m+5\right)^2}=\frac14\)

=>\(\left(4m+5\right)^2=4\left\lbrack\left(2m+1\right)^2+36\right\rbrack\)

=>\(16m^2+40m+25=4\cdot\left\lbrack4m^2+4m+1+36\right\rbrack=4\left(4m^2+4m+37\right)\)

=>\(16m^2+40m+25=16m^2+16m+148\)

=>24m=123

=>\(m=\frac{123}{24}=\frac{41}{8}\) (nhận)

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:

\(t^2-3m.t+m=0\) (1) 

Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:

TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)

\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)

TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)

\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)

2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)

Ko tồn tại m thỏa mãn

Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3m-1\\x-2y=-m-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-1-y}{2}\\\dfrac{3m-1-y}{2}-2y=-m-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-1-y}{2}\\3m-1-y-4y=-2m-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-1-y}{2}\\5y=5m+5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-1-y}{2}\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-1-m-1}{2}\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt trên có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

Ta có: y = x² \(\Leftrightarrow\) m + 1 = (m - 1)² \(\Leftrightarrow\) m + 1 = m² - 2m + 1

\(\Leftrightarrow\) m² - 3m = 0

\(\Leftrightarrow\) m(m - 3) = 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m-3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=3\end{matrix}\right.\)

Vậy m = 0; m = 3 thì hpt trên có nghiệm duy nhất và thỏa mãn y = x²

Chúc bn học tốt!