Phân tích vế trái ta được: 2(x² + y² + z² − (xy + yz + zx)

Phân tích vế phải ta được: 6(x² + y² + z² − (xy + yz + zx)

Vì VT = VP nên VP - VT=0

→ 4(x² + y² + z² − (xy + yz + zx)) = 0

→2(2 (x² + y² + z² − (xy + yz + zx))) = 0

→2((x − y)² + (y − z)² + (z − x)²) = 0

→(x − y)² + (y − z)² + (z − x)² = 0

→(x − y)² = 0; (y − z)² = 0; (z − x)² = 0

→x = y = z

Đặt \(a=x+y,b=y+z,c=z+x\)

Khi đó nếu P = Q tức là \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

Từ đó bạn suy ra nhé ! ^^

thanks you very muck :))

Dễ thấy vai trò của x, y, z là như nhau.

Nếu x, y, z có số dư khi chia cho 3 lần lược là: 0, 1, 2 thì ta có \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮̸3\\x+y+z⋮3\end{cases}}\)(loại)

Nếu x, y, z có 2 số có cùng số dư và 1 số còn lại có số dư khác 2 số đó khi chia cho 3 thì:

\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3\\x+y+z⋮̸3\end{cases}}\)(loại)

Nếu x, y, z khi chi cho 3 có cùng số dư thì:

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮27\)

\(\Rightarrow x+y+z⋮27\)

\(\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\frac{\left(x-z\right)-\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x-z}\)

\(\frac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}=\frac{\left(y-x\right)-\left(y-z\right)}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}=\frac{1}{y-z}-\frac{1}{y-x}\)

\(\frac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\frac{\left(z-y\right)-\left(z-x\right)}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\frac{1}{z-x}-\frac{1}{z-y}\)

Suy ra: \(\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)

\(=\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x-z}+\frac{1}{y-z}-\frac{1}{y-x}+\frac{1}{z-x}-\frac{1}{z-y}\)

\(=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}\)

rồi bí mẹ chỗ này 

Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.

1.

Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$. 

Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$

$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$

$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$

$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$

$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$

$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$

Ta có đpcm.

Bài 2:

Áp dụng kết quả của bài 1:

Mẫu:

$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$

Tử: 

Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$

$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)

Bài 3:

\(ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1\)

Do đó:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\)

Ta có đpcm.

\(VT=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=3+\dfrac{x^2+y^2}{z^2}+z^2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\)

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2}\cdot\dfrac{x^2}{y^2}}=2\)

=>\(VT>=5+\left(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}z^2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

\(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{x^2}{z^2}\cdot\dfrac{z^2}{16x^2}}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}>=\dfrac{1}{2}\)

và \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}>=\dfrac{2}{xy}>=\dfrac{2}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}=\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)

=>\(\dfrac{15}{16}z^2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)>=\dfrac{15}{16}z^2\cdot\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{15}{2}\left(\dfrac{z}{x+y}\right)^2=\dfrac{15}{2}\)

=>VT>=5+1/2+1/2+15/2=27/2

Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel ta có:

\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel, ta có:

\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có : 

\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}\)

\(=\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left[2\left(x+y+z\right)\right]^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)

Vậy ta có điều phải chứng minh