a: Xét ΔAOM vuông tại A có \(AM^2+AO^2=OM^2\)

=>\(AM^2=5^2-3^2=16\)

=>\(AM=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔAOM vuông tại A có \(tanAMO=\dfrac{AO}{AM}\)

=>\(tanAMO=\dfrac{3}{4}\)

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại I và I là trung điểm của AB

c: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đườngkính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>BD\(\perp\)DC tại D

=>BD\(\perp\)CM tại D

Xét ΔCBM vuông tại B có BD là đường cao

nên \(MD\cdot MC=MB^2\left(3\right)\)

Xét ΔMBO vuông tại B có BI là đường cao

nên \(MI\cdot MO=MB^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(MD\cdot MC=MI\cdot MO\)

=>\(\dfrac{MD}{MI}=\dfrac{MO}{MC}\)

Xét ΔMDO và ΔMIC có

\(\dfrac{MD}{MI}=\dfrac{MO}{MC}\)

\(\widehat{DMO}\) chung

Do đó: ΔMDO đồng dạng với ΔMIC

a,b: Xét (O) có

AE,AH là tiếp tuyến

=>AE=AH và OA là phân giác của góc EOH

AE=AH

OE=OH

Do đó:OA là trung trực của EH

=>OA vuông góc EH tại M và M là trung điểm của EH

ΔEMO vuông tại M

=>MO^2+ME^2=OE^2

=>ME^2=5^2-3^2=16

=>ME=4(cm)

=>MH=2*4=8cm

Xét ΔOEA vuông tại E có EM là đường cao

nên OE^2=OM*OA

=>OA=5^2/3=25/3(cm)

c: ΔOEK cân tại O

mà OB là trung tuyến

nên OB vuông góc KE tại I và OB là phân giác của góc KOE

Xét ΔOKB và ΔOEB có

OK=OE

góc KOB=góc EOB

OB chung

Do đó: ΔOKB=ΔOEB

=>góc OBK=góc OEB=90 độ

=>BK là tiếp tuyến của (O)

d: Xét (O) có

ΔKEH nội tiếp

KH là đường kính

Do đó: ΔKEH vuông tại E

Xét tứ giác OIEM có

góc IEM=góc EIO=góc IOM=90 độ

=>OIEM là hình chữ nhật

a: Xét ΔOAS vuông tại A có 

\(OS^2=OA^2+AS^2\)

hay AS=4(cm)

Xét ΔOAS vuông tại A có 

\(\sin SOA=\dfrac{AS}{OS}=\dfrac{4}{5}\)

hay \(\widehat{SOA}=53^0\)

b: Xét ΔOAB có OA=OB

nên ΔOAB cân tại O

mà OI là đường cao

nên OI là đường phân giác

hay OS là tia phân giác của góc AOB

Xét ΔAOS và ΔBOS có

OA=OB

\(\widehat{AOS}=\widehat{BOS}\)

OS chung

Do đó: ΔAOS=ΔBOS
Suy ra: \(\widehat{OAS}=\widehat{OBS}=90^0\)

hay SB là tiếp tuyến của (O)

Giải thích các bước giải:

MO là t.p.g. của AMBˆAMB^

⇒AMOˆ=BMOˆ=AMBˆ2=450⇒AMO^=BMO^=AMB^2=450

⇒ΔAMO−và−ΔBMO⇒ΔAMO−và−ΔBMO vuông cân

=> OA = AM = MB = BO

=> OAMB là h.thoi có AMBˆ=900AMB^=900

=> OAMB là h.v.

b)

PMPQ=MP+MQ+PQPMPQ=MP+MQ+PQ

=(MP+PC)+(MQ+QC)=(MP+PC)+(MQ+QC)

=(MP+PA)+(MQ+QB)=(MP+PA)+(MQ+QB)

=MA+MB=MA+MB

=2OA=2OA

=2R=2R

c)

OP−là−t.p.g.−của−AOCˆOP−là−t.p.g.−của−AOC^

⇒COPˆ=12AOCˆ⇒COP^=12AOC^ (1)

OQ−là−t.p.g.−của−BOCˆOQ−là−t.p.g.−của−BOC^

⇒COQˆ=12BOCˆ⇒COQ^=12BOC^ (2)

Cộng theo vế của (1) và (2), ta có:

COPˆ+COQˆ=12(AOCˆ+BOCˆ)=12AOBˆCOP^+COQ^=12(AOC^+BOC^)=12AOB^

⇒POQˆ=450

Giải thích các bước giải:

MO là t.p.g. của AMBˆAMB^

⇒AMOˆ=BMOˆ=AMBˆ2=450⇒AMO^=BMO^=AMB^2=450

⇒ΔAMO−và−ΔBMO⇒ΔAMO−và−ΔBMO vuông cân

=> OA = AM = MB = BO

=> OAMB là h.thoi có AMBˆ=900AMB^=900

=> OAMB là h.v.

b)

PMPQ=MP+MQ+PQPMPQ=MP+MQ+PQ

=(MP+PC)+(MQ+QC)=(MP+PC)+(MQ+QC)

=(MP+PA)+(MQ+QB)=(MP+PA)+(MQ+QB)

=MA+MB=MA+MB

=2OA=2OA

=2R=2R

c)

OP−là−t.p.g.−của−AOCˆOP−là−t.p.g.−của−AOC^

⇒COPˆ=12AOCˆ⇒COP^=12AOC^ (1)

OQ−là−t.p.g.−của−BOCˆOQ−là−t.p.g.−của−BOC^

⇒COQˆ=12BOCˆ⇒COQ^=12BOC^ (2)

Cộng theo vế của (1) và (2), ta có:

COPˆ+COQˆ=12(AOCˆ+BOCˆ)=12AOBˆCOP^+COQ^=12(AOC^+BOC^)=12AOB^

⇒POQˆ=450vv

a: ΔOEH cân tại O

mà OM là đường cao

nên M là trung điểm của EH và OM là phân giác của góc EOH

ΔOME vuông tại M

=>\(MO^2+ME^2=OE^2\)

=>\(ME^2=5^2-3^2=16\)

=>\(ME=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

M là trung điểm của EH

=>EH=2*ME=8(cm)

b:

OM là phân giác của góc EOH

mà A\(\in\)OM

nên OA là phân giác của góc EOH

Xét ΔOEA và ΔOHA có

OE=OH

\(\widehat{EOA}=\widehat{HOA}\)

OA chung

Do đó: ΔOEA=ΔOHA

=>\(\widehat{OEA}=\widehat{OHA}=90^0\)

=>AH là tiếp tuyến của (O)

c: Xét (O) có

BF,BH là tiếp tuyến

Do đó: BF=BH và OB là phân giác của \(\widehat{FOH}\)

OB là phân giác của góc FOH

=>\(\widehat{FOH}=2\cdot\widehat{HOB}\)

OA là phân giác của góc HOE

=>\(\widehat{HOE}=2\cdot\widehat{HOA}\)

Ta có: \(\widehat{FOH}+\widehat{HOE}=\widehat{FOE}\)

=>\(\widehat{FOE}=2\cdot\left(\widehat{HOA}+\widehat{HOB}\right)\)

=>\(\widehat{FOE}=2\cdot\widehat{AOB}=180^0\)

=>F,O,E thẳng hàng

ΔOEA=ΔOHA

=>AE=AH

Xét ΔOBA vuông tại O có OH là đường cao

nên \(AH\cdot HB=OH^2\)

mà AH=AE và BH=BF

nên \(AE\cdot BF=OH^2=R^2\)

a) Để tính độ dài dây EH, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OMH:
OH^2 = OM^2 + MH^2
Với OM = 3cm và OH = R = 5cm, ta có:
MH^2 = OH^2 - OM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16
MH = √16 = 4cm

Do đó, độ dài dây EH = 2 * MH = 2 * 4 = 8cm.

b) Để chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta sử dụng định lý tiếp tuyến - tiếp điểm:
Trong tam giác vuông OHE, ta có OM vuông góc với AE (do EH vuông góc với AO tại M). Vì vậy, theo định lý tiếp tuyến - tiếp điểm, ta có AH là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Để chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng và BF.AE = R^2, ta sử dụng định lý Euclid:
Theo định lý Euclid, trong một đường tròn, các tiếp tuyến tại hai điểm cùng cung là song song. Vì vậy, ta có BF // AE.
Do đó, theo định lý Euclid, ta có BF.AE = R^2.