từ đề = |x+1| + |x-1| (1)

+/ nếu x >1 thì x-1>0 và x+1>0 

suy ra (1)=2x mà x>1 nên (1) > 2 

+/ nếu -1>=x>=1 thì x-1<=0 và x+1>=0 

suy ra (1)=2

+/ nếu x<1 thì x-1 và x+1 bé hơn hoặc bằng 2

suy ra (1)=-2x

mà x<1 nên (1)>2

 vậy MIN=2 <=> -1<=x<=1

\(=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2}\)

\(=\left|x+1\right| +\left|1-x\right|\ge\left|x+1+1-x\right|=2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 2, với \(-1\le x\le1\)

Ta có:

A = x 

A=x ma la lm jup ha tu dung A=x bo tay

\(A=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1\)

\(=x-2\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1\right)+\left(\sqrt{y}+1\right)^2+2\left(y-\sqrt{y}+\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}\)

\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2+2\left(\sqrt{y}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{2}\ge-\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}-1=0\\\sqrt{y}-\frac{1}{2}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

# Bài 1

* Ta cm BĐT sau \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\) (1) bằng cách biến đổi tương đương

* Với \(x,y>0\) áp dụng (1) ta có

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{y}\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\)

Mà \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\le1\) \(\Leftrightarrow\) \(0< \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\le1\) (I)

* Ta cm BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (2)

Áp dụng (2) với x , y > 0 ta có

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) (II)

* Từ (I) và (II) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le1\)

\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)

Dấu "=" xra khi \(x=y=4\)

Vậy min \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\) khi \(x=y=4\)

Bài 2: 

a: \(A=2\sqrt{7}-1+\left(\sqrt{7}+4\right)\)

\(=2\sqrt{7}-1+\sqrt{7}+4=3\sqrt{7}+3\)

b: \(B=\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}\)

\(=\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=2\)

đặt A=\(x^2+x\sqrt{3}+1\)

= \(x^2+2x.\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\)

= \(\left(x^2+2x.\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{4}\right)+\dfrac{1}{4}\)

= \(\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)

do \(\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2\ge0\) ∀ x

⇔ \(\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\)

⇔ A \(\ge\dfrac{1}{4}\)

=> Min A = \(\dfrac{1}{4}\) dấu "=" xảy ra khi x= \(\dfrac{-3}{4}\)

Giải:

Đặt \(A=x^2+x\sqrt{3}+1\)

\(\Leftrightarrow A=x^2+2.x\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)

Vì \(\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\ge0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4};\forall x\)

\(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{1}{4};\forall x\)

\(\Leftrightarrow A_{Min}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy ...

a, A >= 0

Dấu "=" xảy ra <=> x=0

Vậy GTNN của A = 1 <=> x=0

b, B >= 1/2

Dấu "=" xảy ra <=> x=0

Vậy GTNN của B = 1/2 <=> x=0

Tk mk nha

Câu a)

Ta có: \(A=\sqrt{x}+1\)

Ta có: \(\sqrt{x}\ge0\)

Suy ra \(\sqrt{x}+1\ge1\)

Vậy A đạt GTNN là 1 tại x = 0 (tự giải x ra nha)

câu b) Tương tự

Thánh làm biếng chào bn :3

a, Ta có \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\)

Dấu ' = ' xảy ra khi \(\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0\)

Vậy GTNN của A là 1 tại x = 0

b, Tương tự cau a