\(S_{ABC}=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=\frac{abc}{4R}\)

+ Từ \(\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}\Rightarrow b\sin A=a\sin B\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\left(1\right)\)

+ Từ \(\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}\Rightarrow c\sin B=b\sin C\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(2\right)\)

+ Từ \(\frac{bc\sin A}{2}=\frac{abc}{4R}\Rightarrow\sin A=\frac{a}{2R}\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=2R\left(3\right)\)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\left(dpcm\right)\)

Từ A kẻ đường cao AH (H thuộc BC) , Từ B kẻ đường cao BK (K thuộc AC)

Ta có : $sinA=\frac{BK}{AB}$ ; $sinB=\frac{AH}{AB}$ ; $sinC=\frac{AH}{AC}$

$\Rightarrow \frac{AB}{sinC}=\frac{AB}{\frac{AH}{AC}}=\frac{AB.AC}{AH}$ ; $\frac{AC}{sinB}=\frac{AC}{\frac{AH}{AB}}=\frac{AB.AC}{AH}$

$\Rightarrow \frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$ (1)

Lại có : $BK=sinC.BC\Rightarrow \frac{BC}{sinA}=\frac{BC}{\frac{BK}{AB}}=\frac{BC.AB}{BK}=\frac{AB.BC}{sinC.BC}=\frac{AB}{sinC}$

$\Rightarrow \frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có : $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$ (Đpcm)

Kẻ đường kính BD.

ta có góc A = góc D ( góc nội tiếp chắn cung BC) 

=> sinA = sin D

có tam giác BCD vuông tại C => sinD = BD/BC

=> sinA = 2R/a

=> a/sinA=2R 

CMTT ta có b/sinB =2R

c/sinC=2R 

do đó a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

\(a,\widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta ABK;\Delta ACK\) vuông tại B và C

\(b,\left\{{}\begin{matrix}CK//BH\left(\perp AC\right)\\BK//CH\left(\perp AB\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow BHCK\) là hbh

\(c,\left\{{}\begin{matrix}AO=OM=R\\OM//AH\left(\perp BC\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow HM=MK\)

Hình bình hành BHCK có M là trung điểm HK nên cũng là trung điểm BC

\(d,\left\{{}\begin{matrix}AO=OK=R\\HM=MK\left(cm.trên\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow OM\) là đtb tam giác AHK

\(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\)

trả lời

đề này bn làm đc câu mấy rồi

hok tốt

khong giỏi hình, mk chỉ cần câu c

ukm

để mik vẽ hình ra cái

câu c hay 0,5 điểm nhỉ

Hình tự vẽ nha!

a, Kẻ AN là đường kính của đường tròn (O)

Xét đường tròn (O) có: 

Q là trung điểm của BC (gt)

BC là dây không đi qua tâm

\(\Rightarrow\) OQ \(\perp\) BC (Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

Lại có: AD \(\perp\) BC (AD là đường cao theo gt)

\(\Rightarrow\) OQ // AD (Quan hệ từ vuông góc đến //)

Mà H \(\in\) AD (H là trực tâm của tam giác ABC do AD, BE, CF là 3 đường cao)

\(\Rightarrow\) OQ // AH (1)

Xét tam giác ANH có:

OQ // AH (cm trên)

O là trung điểm của AN (O là tâm của đường tròn đường kính AN)

\(\Rightarrow\) OQ là đường trung bình của tam giác ANH (định lý đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow\) OQ = \(\dfrac{1}{2}\)AH (t/c đường trung bình của tam giác)

hay AH = 2OQ (đpcm)

b, Ta có: sinB = \(\dfrac{AD}{AB}\) ; sinC = \(\dfrac{AD}{AC}\)

\(\Rightarrow\) sinB + sinC = \(\dfrac{AD}{AB}+\dfrac{AD}{AC}\) = \(AD.\left(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\right)\)

= \(AD.\left(\dfrac{AB+AC}{AB.AC}\right)\) = \(AD.\left(\dfrac{2BC}{AB.AC}\right)\) = \(\dfrac{2BC.AD.sinA}{AB.AC.sinA}\)

= \(\dfrac{4S_{ABC}.sinA}{2S_{ABC}}\) = 2SinA (đpcm)

Phần c đang nghĩ tiếp ;-;

Chúc bn học tốt!

oài 3 bài này khó kinh khủng 

a)Có \(\widehat{MEC}=\widehat{MFC}\left(=90^0\right)\)

=>Tứ giác MECF nội tiếp

b)Có \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

\(\widehat{ACB}=\widehat{EMF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong đt ngoại tiếp tứ giác MECF)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{EMF}\)

Tương tự cũng có: \(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}=\left(\widehat{ECM}\right)\)

Xét \(\Delta BMA\) và \(\Delta MEF\) có:

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMF}\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}\)

nên \(\Delta BMA\sim\Delta FME\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{FM}=\dfrac{BA}{FE}\) \(\Leftrightarrow BM.EF=AB.FM\)

c) Gọi \(K=FE\cap AB\)

Có \(\widehat{MFK}=\widehat{ABM}\left(=\widehat{ECM}\right)\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác BKMF nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BKM}+\widehat{MFB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BKM}=90^0\)

Có: \(\widehat{PAM}+\widehat{BCM}=180^0\) (vì BAMC nội tiếp do bốn đỉnh cùng thuộc đt tâm O)

\(\widehat{MCB}+\widehat{MEF}=180^0\) (vì EMCF nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{PAM}=\widehat{MEQ}\) mà \(\dfrac{AP}{EQ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{\dfrac{1}{2}EF}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{AM}{EM}\)

=> Tam giác APM và EQM đồng dạng (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{APM}=\widehat{EQM}\) hay góc KPM= góc KQM

\(\Rightarrow\) Tứ giác KPQM nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{PKM}+\widehat{MQP}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MQP}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta MQP\) vuông tại Q

=> PM²=MQ²+PQ² 

(toi xỉu)