Chương III - Góc với đường tròn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
loancute

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi Q là trung điểm của BC và các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh : AH = 2OQ

b) Chứng minh rằng nếu : AB + AC = 2BC thì sinB + sin C = 2sin A

c) Cho BC = \(R\sqrt{2}\), chứng minh : AE * FH + AF * HE = \(R^2\sqrt{2}\)

Trương Huy Hoàng
17 tháng 1 2021 lúc 22:33

Hình tự vẽ nha!

a, Kẻ AN là đường kính của đường tròn (O)

Xét đường tròn (O) có: 

Q là trung điểm của BC (gt)

BC là dây không đi qua tâm

\(\Rightarrow\) OQ \(\perp\) BC (Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

Lại có: AD \(\perp\) BC (AD là đường cao theo gt)

\(\Rightarrow\) OQ // AD (Quan hệ từ vuông góc đến //)

Mà H \(\in\) AD (H là trực tâm của tam giác ABC do AD, BE, CF là 3 đường cao)

\(\Rightarrow\) OQ // AH (1)

Xét tam giác ANH có:

OQ // AH (cm trên)

O là trung điểm của AN (O là tâm của đường tròn đường kính AN)

\(\Rightarrow\) OQ là đường trung bình của tam giác ANH (định lý đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow\) OQ = \(\dfrac{1}{2}\)AH (t/c đường trung bình của tam giác)

hay AH = 2OQ (đpcm)

b, Ta có: sinB = \(\dfrac{AD}{AB}\) ; sinC = \(\dfrac{AD}{AC}\)

\(\Rightarrow\) sinB + sinC = \(\dfrac{AD}{AB}+\dfrac{AD}{AC}\) = \(AD.\left(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\right)\)

\(AD.\left(\dfrac{AB+AC}{AB.AC}\right)\) = \(AD.\left(\dfrac{2BC}{AB.AC}\right)\) = \(\dfrac{2BC.AD.sinA}{AB.AC.sinA}\)

\(\dfrac{4S_{ABC}.sinA}{2S_{ABC}}\) = 2SinA (đpcm)

Phần c đang nghĩ tiếp ;-;

Chúc bn học tốt!


Các câu hỏi tương tự
ekhoavvdd
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Phiến
Xem chi tiết
Vy
Xem chi tiết
Khoa học và công nghệ
Xem chi tiết
Nam Vương Thành
Xem chi tiết
Hà Hoàng
Xem chi tiết
leminhthien
Xem chi tiết
Nguyễn Châu Mỹ Linh
Xem chi tiết
Phúc Vinh Võ
Xem chi tiết